Глава II. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Введение

В этой главе обсуждается ряд важных понятий и свойств процессов, описываемых стохастическими разностными уравнениями с аддитивным шумом, начиная с понятий слабой стационарности, ковариационной стационарности и обратимости. Рассматривается спектральное представление таких процессов, а также задачи оценки ковариаций и спектральных плотностей. Подробно изучена задача предсказания. И, наконец, рассмотрены модели с мультипликативным и дробным шумами, особое внимание уделено использованию методов прогнозирования для таких систем.

Многие из этих задач, известные по другим книгам и учебникам, включены сюда потому, что потребуются для дальнейшего рассмотрения в последующих главах. Во избежание ненужного дублирования изложение этих задач достаточно кратко.

2а. Предположения и их анализ

Перечислим главные предположения относительно основного разностного уравнения

В каждой задаче будет приниматься такая совокупность предположений, чтобы обеспечить единственность параметров, характеризующих процесс у, описываемый этим разностным уравнением, а также возможность их оценки по результатам наблюдений . Итак, пусть -матричные полиномы степени соответственно; векторы размерности -матрица. При задача сводится к случаю системы из одного уравнения. Все формулируемые ниже предположения одновременно не используются. В каждом параграфе. или главе будут оговорены особо те конкретные предположения, выполнение которых там требуется.

Предположения о входных сигналах

А1. Последовательность состоит из независимых и одинаково распределенных -мерных случайных векторов с нулевым математическим ожиданием и невырожденной ковариационной матрицей Вектор не зависит от для всех удовлетворяющих

А2. Наблюдаемый входной вектор размерности является недетерминированным ковариационно-стационарным процессом с положительно определенной ковариационной матрицей. Вектор не зависит от для всех .

A3. Векторы взаимно независимы.

А4. Векторная функция детерминированного тренда размерности 12 такова, что матрица существует и положительно определена.

А4. Вектор тренда удовлетворяет условию

для любого ненулевого вектора

Предположения используются всегда, Предположение (A3) будет использоваться всюду, за исключением отдельных частей гл. Предположение и его более слабый вариант анализируется в гл. IV.

Предположения о матрицах

А5. Все нули определителя лежат вне единичного круга, и невырождена.

А6. Все нули определителя лежат вне единичного круга, и

Наибольший общий левый полиномиальный матричный множитель матриц унимодален (т. е. имеет постоянный определитель) или, что эквивалентно, форма Смита для есть

Для каждого наибольший общий делитель полиномов в множестве имеет нулевую степень.

Только в многомерном случае требуется одно из следующих допущений, характеризующих соответствующую каноническую или псевдоканоническую форму:

А8. Матрица имеет ранг .

А9. Матрица является левой треугольной, причем Степень не превосходит степени для всех , т. е.

A10. Матрица диагональная, и .

All. Матрицы диагональные; левая треугольная с

Предположения используются всегда. Одно из предположений необходимо только для многомерных систем при характеризации канонических форм разностных уравнений. Выполнение обеспечивает асимптотическую ковариационную стационарность процесса в Условие гарантирует обратимость как указано ниже. Некоторые из основных результатов гл. IV, V остаются в силе даже при замене условием

Нули расположены либо на единичной окружности, либо вне нее. Однако предположения недостаточно для вычисления оценок максимального правдоподобия в гл. IV и VII. Поэтому на протяжении всей книги принимаем условие Предположения обеспечивают несовпадение нулей с полюсами в одномерных системах и их многомерных обобщениях. Условия обсуждаются в гл. V.