1d. Проверка адекватности

В предыдущих разделах обсуждались методы выбора модели из семейства вместе с множеством значений для первичных и вторичных параметров. Однако все еще остается открытым вопрос о том, насколько удовлетворительно заданная модель представляет исходные данные. Это есть задача проверки адекватности модели. Если модель адекватна цели, для которой она была первоначально предназначена (например, для предсказания), то модель можно считать обоснованной. Конечно, адекватность модели можно определить лишь в относительных терминах. Именно, можно сказать, что модель лучше другой в смысле некоторого критерия. Можно согласиться, что если первичные и вторичные параметры выбраны разумным способом, то окончательная модель должна быть удовлетворительна в соответствующем смысле. Однако первичные параметры часто выбираются произвольно по

причинам, упомянутым ранее. Следовательно, задача проверки адекватности в этом случае все еще остается. Можно рассмотреть по крайней мере два различных подхода к задаче проверки адекватности. Первый из них имеет за собой некоторое аналитическое основание, тогда как другой базируется на моделировании.

В первом подходе проверяется адекватность допущений, положенных в основу модели. Во многих случаях единственное существенное допущение состоит в том, что возмущения — это последовательность независимых случайных величин с нулевым средним. Используя выбранную модель и доступные наблюдения, можно получить оценки возмущений, так называемые остатки, и проверить предположение о независимости с помощью обычной теории проверки гипотез, переформулировав задачу как выбор между двумя гипотезами Гипотеза называемая обычно нулевой, постулирует, что остатки имеют нулевое среднее и независимы. Гипотеза Ни называемая обычно альтернативной, постулирует, что последовательные остатки зависимы и подчиняются авторегрессионной модели порядка Авторегрессионная модель зависимости выбрана из соображений простоты вычислений. Вдобавок, остатки предполагаются нормально распределенными. Используя критерий отношения правдоподобия, для различения двух гипотез можно получить статистику, имеющую приближенно или -распределение. Если с подходяще выбранным уровнем значимости принимается гипотеза то соответствующая модель также принимается. Если же принимается то, конечно, рассматриваемая модель неудовлетворительна. Для получения дальнейшего указания к изменению модели остатки анализируются с целью выяснения природы зависимости между ними. Например, в остатках может присутствовать синусоидальный тренд, который и является причиной принятия против В этом случае в модель следует включить компоненту синусоидального тренда. Подробности этого метода проверки адекватности модели даны в гл. VIII.

Принятие гипотезы с помощью описанного выше критерия есть необходимое, но не достаточное условие адекватности модели. Можно легко построить примеры, в которых модель не отвергается (т. е. в задаче проверки гипотез принимается и тем не менее лишена всякого смысла. Более того, выбор уровня значимости при проверке гипотез совершенно субъективен. Может случиться, что предпочтительнее, чем при 95-процентном уровне значимости, но, наоборот, предпочтительнее при 98-процентном. Это несоответствие обсуядается ниже.

Чтобы удостовериться в адекватности модели, необходима непосредственно сравнить характеристики ее выходного сигнала, такие как коррелограммы, спектральные плотности и характеристики экстремальных значений, с соответствующими характеристиками эмпирических данных. Чтобы осуществить такое

сравнение, можно аналитически или посредством моделирования получить различные статистические характеристики выходного сигнала модели. Модель принимается, если расхождение между двумя множествами характеристик не превышает одного-двух стандартных отклонений для этих характеристик, обратно пропорциональных где число наблюдений.

Справедливости ради заметим, что иногда не удается построить модель с желаемой степенью точности и общности. Например, в задаче моделирования речного потока мы не можем обойтись одной моделью, одинаково хорошо предсказывающей как на день, так и на год вперед. В таких случаях для каждого диапазона частот создают свои модели. Наша неспособность создавать модели требуемого уровня общности и точности побуждает нас искать совершенно различные представления моделируемого процесса Точно так же линейные модели взаимодействия, создаваемые для некоторых экономических временных рядов, как будто не отражают псевдоколебательного характера, по общепринятому мнению свойственного эмпирическим временным рядам. Имеются некоторые указания на то, что наличие псевдоциклического характера экономических временных рядов — это фикция и что в любой заданной случайной последовательности каждый может обнару жить колебание любой частоты в зависимости от его психологического склада.

Наличие такого рода противоречий опять-таки подтверждает необходимость разработки новых методов представления данных и новых методов обоснования моделей, применимых к задачам с ограниченными данными. Эти аспекты выбора классов моделей и их обоснования подробно осуждаются в гл. VIII.

Комментарии

Мы вкратце упомянули о взаимоотношении между основными принципами построения моделей и методологией науки. Тоулмин (1957) дал четкое введение в этот вопрос. В вопросе о важности обоснования моделей и проверки гипотез мы находились под сильным влиянием работы Поппера (1934). Эпиграф в начале книги взят из Медоуэра (1969).

Подробный обзор различных книг по временным рядам и смежным вопросам, подобным идентификации систем, выходит за рамки этой работы. Некоторые ссылки приведены в ряде мест других глав. Имеется аннотированный библиографический указатель статей по временным рядам до 1959 г., составленный Волдом (1965). Специальный выпуск журнала IEEE Transactions on Automatic Control (декабрь 1974) по идентификации систем и анализу временных рядов содержит ряд обзорных и других статей, посвященных методам оценивания, обоснования моделей и их приложениям.