2g. Предсказание в мультипликативных системах

2g.1. Предположения и обоснования.

Рассмотрим задачу прогноза для мультипликативной системы, описываемой уравнением

где дискретный белый шум, удовлетворяющий условию одномерный процесс.

Такие модели требуются для анализа множества временных рядов в различных областях, например, при изучении популяции животных, в экономике. Некоторые примеры рассмотрены в гл. XI.

Логарифмируя получим следующее уравнение, линейное по

где Уравнение можно обобщить добавлением членов типа скользящего среднего или детерминированного тренда. Это уравнение удобно для оценки коэффициентов так как шум аддитивен. Однако задачи предсказания усложняются, так как мы хотим предсказать величину у, а не

Приведем несколько предположений относительно шума или Пусть величина нормально распределена с нулевым

средним и дисперсией

где логарифмически нормальное распределение с плотностью

При этом сохраняется свойство воспроизводимости: если логарифмически нормален, то все логарифмически нормальны. Можно найти установившееся (нормальное) распределение величины а следовательно, и установившееся логарифмически нормальное распределение Если порядок системы равен то имеет нормальное распределение или — где

Следующая формула будет постоянно использоваться в дальнейшем:

2g.2. Предсказание.

Рассмотрим предсказание на один шаг вперед, основанное на предыдущих измерениях 1).

Найдем оптимальный прогноз по квадратическому критерию, введенному в предыдущем

Оптимальный алгоритм прогноза имеет вид

(получено из так как

Найдём среднеквадратическую ошибку оптимального прогноза на шаг вперед:

Для простоты вычислим значение этой ошибки только при

Заметим, что

так как

Подставляя получим

Заметим, что средиеквадратическая ошибка оптимального предсказания зависит от коэффициентов динамической системы.

Найдем теперь алгоритм прогноза, оптимальный для функции риска

Эта функция риска удобна, когда представляет интерес отношение (например, в процентах) действительного значения величины к ее оценке. Задачу можно сформулировать в терминах величины

Как показано выше,

Средиеквадратическая ошибка оптимальной оценки равна Основное различие между оптимальными} алгоритмами прогноза заключается в множителе Этот множитель может быть достаточно существенным, если велико. Например, если он равен почти .