3а.4. Нестационарные процессы.

3а.4.1. Несезонные IAR- или ARIMA-модели. Пусть где положительное целое. При будем обозначать просто как Если является -процессом,

для некоторого целого то говорят, что описывается интегрированной авторегрессионной моделью По определению, имеет по крайней мере один корень на единичной окружности, демонстрирующий нестационарность у. Если добавить к члены скользящего среднего, получим модель интегрированной авторегрессии и скользящего среднего где порядок означают то же, что и ранее. Сезонные и несезонные IAR- и ARIMA-процессы широко применялись Боксом и Дженкинсом (1970). Они являются частным случаем процессов со стационарными приращениями, рассмотренных Гладышевым (1961) и Ягломом (1958). Такие процессы использовались при моделировании турбулентных потоков (Татарский, 1967).

Простейший тип IAR-процесса имеет вид

где обычно последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с дисперсией т. е.

Процесс представляет собой сумму независимых шумов. Это классическая модель броуновского движения микроскопических частиц, таких как частицы туши в воде или пылинки в воздухе, вызванного столкновением частиц с молекулами окружающей среды. Для процесса, удовлетворяющего

Абсолютное значение растет со скоростью, пропорциональной причем растет немонотонно. Такое поведение справедливо для всех ARIMA-процессов, описанных ARIMA-уравнениями в терминах первых разностей без постоянных членов. Покажем эту зависимость на примере.

Пример 3а.1. Рассмотрим IAR-процесс первого порядка

откуда следует, что

или

Напомним из гл. II асимптотическое выражение для корреляционной функции процесса, удовлетворяющего

Подставляя получим требуемое выражение

Ясно, что асимптотическое выражение для имеет вид , где с — константа, зависящая от

Нужно подчеркнуть, что, когда мы действительно рассматриваем реализацию последовательности подчиняющейся или рост может быть незаметным. Из предыдущей теории известно, что ведет себя как при но при этом не дается никакой информации о знаке для больших Он может быть или положительным, или отрицательным. Для конкретности рассмотрим По закону повторного логарифма (Феллер, 1967) можно показать, что

Таким образом, может стремиться к для больших Более того, при увеличении знак может меняться. Он может быть положительным для нескольких интервалов времени и отрицательным на остальных интервалах времени. В каждом случае трудно сказать, куда он стремится, к или качестве примера напомним известный эксперимент, в котором моделировалось уравнение являющимся последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих с одинаковой вероятностью одно из двух значений Пусть График при

больших приведен на рис. 3а.4.1 (Феллер, 1967). Из рис. неясно, растет ли ряд или убывает, но дисперсия процесса, очевидно, растет с ростом t.

IAR- и ARIMA-уравнения с постоянной составляющей. Рассмотрим поведение процесса у, удовлетворяющего уравнению

Рис. 3а.4.1. Часть графика результатов 10 000 бросаний идеальной монеты. (По Феллеру, 1966.)

ARIMA с постоянной составляющей. Рассмотрим в качестве примера процесс IAR первого порядка

Процесс, описываемый уравнением можно представить в виде

где описывается ARIMA-процессом первого порядка без постоянной составляющей:

Из уравнений следует Чтобы убедиться в этом, применим оператор разности V к уравнению

Выразим в терминах используя

или

Характер возрастания для больших можно представить в виде используя так как дисперсия пропорциональна Таким образом, наличие постоянного члена в ARIMA-уравнении проявляется во введении в процесс линейного тренда.

Аналогично рассмотрим процесс у, у которого вторая разность отвечает ARMA-уравнению с добавленной константой, т. е. у удовлетворяет уравнению ARIMA с постоянным членом. Тогда у можно представить в виде суммы детерминированной квадратической функции времени и сигнала описываемого моделью ARIMA без постоянного члена.

Модели ARIMA с постоянными членами удовлетворительно соответствуют разнообразным возрастающим временным рядам. Рассмотрим, например, ряд ежегодной численности населения США (рис. 3а.1.2). Этот пример был упомянут в где была показана неэффективность чисто детерминированной модели. Пусть численность населения в году. Можно представить в виде

где удовлетворяет IAR-процессу без постоянной составляющей, скажем,

Применяя разностный оператор к и используя получим следующую IAR-модель с постоянной составляющей

где Для населения США подходит модель при Заметим, что и среднее значение и дисперсия линейно зависят от

Уравнения IAR второго порядка. Рассмотрим уравнение

где Решая относительно получшм

Процесс у может расти или убывать со скоростью порядка в соответствии с Как и раньше, ряд может осциллировать (разумеется, даже без приблизительной периодичности). Он некоторое время увеличивается, а затем уменьшается и т. д.

3а.4.2. Модели сезонных изменений IAR и ARIMA. Обычно говорят о сезонной модели, если временной ряд имеет периодический характер, т. е. если временной ряд содержит приблизительно периодические колебания. Для примера рассмотрим месячные данные с годовым периодом Тогда в сезонных ARIMA-моделях значение переменной предполагается зависящим от значений Следовательно, предполагается, что разность должна удовлетворять разностному уравнению

где и возмущение может не быть дискретным белым шумом. Уравнение является обычным уравнением типа ARMA, в котором единицей времени будет не 1, а 12. Следовательно, оператор в уравнении появляется в только в виде степени Возмущение полагают удовлетворяющим уравнению

где белый шум.

Процесс может иметь представление ARIMA вместо ARMA, чтобы учесть «рост», отмеченный в рядах, рассмотренных выше. Объединяя получим требуемое сезонное уравнение ARIMA, которое можно записать в виде (Бокс и Джен-кинс, 1970)

Основным недостатком сезонной модели является то, что она противоречит интуиции. Трудно представить себе, чтобы на влияли только возмущения случившиеся за 12 или 24 месяца до этого. Смысл членов с временной задержкой типа или можно объяснить, только если постулировать некий механизм накопления, который накапливает информацию и реализует ее позднее. Трудно представить себе, чтобы шум являющийся «остатком» после установления соответствия между известными частями процесса, был связан с таким сложным механизмом накопления.

Вторым недостатком модели является ее сложность. Задача оценки параметров трудна из-за наличия в уравнении системы членов скользящего среднего. Итак, сезонные ARIMA-модели следовало бы рассматривать только в том случае, если будет установлено, что наиболее подходящие модели из других классов, таких как класс ковариационно-стационарных моделей, являются неудовлетворительными.

Вводя сезонные ARIMA-модели, Бокс и Дженкинс установили недостатки моделирования рассмотренных выше временных рядов чисто синусоидальными составляющими. Однако отказ от чисто детерминированных моделей не предполагает ни того, что при этом мы полностью должны обходиться без детерминированного тренда, ни того, что мы должны обратиться к сезонным моделям ARIMA. Подытоживая, следует сказать, что нет априорных причин для того, чтобы рассматривать только сезонные модели ARIMA.

3а.4.3. Модели с переменными коэффициент Здесь мы рассмотрим процессы AR и ARMA, в которых коэффициенты не являются постоянными. Временная последовательность значений, принятая для некоторых (или всех) коэффициентов, сама является случайной и описывается динамической системой (Калман, 1963). Рассмотрим, например, процесс

описываемый AR-моделью первого порядка

где последовательности, удовлетворяющие AR-моделям с постоянными коэффициентами

где -константы и обычная случайная последовательность независимых одинаково распределенных величин с нулевым средним, независимых как друг от друга, так и от

Константы Случай используется для интенсивно возрастающих процессов, как в некоторых экономических моделях. Уравнения (3а.4.23) и (3а.4.24) можно обобщить, что позволяет работать с AR-моделями более высокого порядка. В области: анализа устойчивости и стационарности процессов, описываемых уравнениями (3а.4.23) и (3а.4.24), пока что сделано очень мало.

Относительно необходимости нестационарных моделей можно указать две противоположные точки зрения. Сторонники одной из них (Мандельброт, Уоллис, 1968) считают, что использование меняющихся во времени параметров «довольно бессмысленно, поскольку польза статистических моделей заключается в их применении для предсказания больших выборок». Эту точку зрения едва ли можно разделять. Прежде всего, налицо путаница с термином «постоянный коэффициент». Даже если линейное уравнение (3а.4.23) имеет переменные во времени коэффициенты, все же в задаче оценки параметров в уравнениях (3а.4.23) и (За.4.24) требуется оценить только неизвестные константы с. В этом смысле все задачи моделирования имеют дело с «постоянными коэффициентами». Кроме того, долгосрочное предсказание по модели (3а.4.23) и (За.4.24) существенно отличается от предсказания по модели где и постоянны для всех Вторая точка зрения заключается в том, что все реальные процессы чрезвычайно сложны и нелинейны и, естественно, для их описания требуются модели с переменными во времени коэффициентами. По нашему мнению, эта точка зрения неправильно интерпретирует роль моделей. Любая модель предназначена для определенной цели и не должна быть фотографической копией действительности.

Поскольку мы заинтересованы в выборе по возможности простейших моделей, мы должны рассматривать нестационарные модели лишь в том случае, если будет установлено, что данная последовательность наблюдений не может быть адекватно описана моделью семейства с постоянными коэффициентами. Вот обычный способ, каким устанавливается неадекватность модели с постоянными коэффициентами. Пусть оценка

методам наименьших квадратов неизвестного коэффициента полученная по наблюдениям до момента времени Если модель неадекватна, то разброс в последовательности оценок значительно больше, чем соответствующее теоретическое стандартное отклонение, определяемое моделью. Этот аспект обсуждается в гл.

Следующий вопрос: является или нет некоторый процесс по существу стационарным? Для определенности допустим, что имеется наблюдений некоторого климатического процесса, взятых, скажем, за лет. Если очень велико, часто утверждают, что стационарная модель, или модель с постоянными коэффициентами, здесь не годится. Мы считаем, что это утверждение необоснованно. Уместной для обсуждения переменной является число наблюдений, а не календарный временной интервал. Обычно, когда число наблюдений очень мало, модель с постоянными коэффициентами удовлетворительна, т. е. она успешно проходит все оценочные тесты гл. VIII. Например, если имеются 20 наблюдений природного процесса, такого как температура атмосферного воздуха на -летних интервалах, т. е. если годам, модель с постоянными коэффициентами обычно достаточна для описания всех изменений. Иными словами, любое расхождение между характеристиками процесса, описываемого моделью, и характеристиками наблюдаемого процесса будет находиться в пределах одного стандартного отклонения соответствующих оценок. Но если для того же самого процесса велико, то модель с постоянными коэффициентами обычно не вполне удовлетворительна. Если имеются 10 000 наблюдений процесса, обычно требуется нестационарная модель, причем неважно, с каким интервалом снимаются наблюдения — ежечасно, ежемесячно или ежегодно. Другими словами, «стационарность» определяется точкой зрения пользователя модели. Если наблюдать любой процесс достаточно часто, стационарная модель может не подойти. Как правило, для любого природного процесса, такого как осадки или температура, модель с постоянными коэффициентами удовлетворительна до порядка нескольких сотен. Для экономических временных рядов модель с постоянными коэффициентами не годится уже при

Об иных подходах к изучению линейных задач со случайно меняющимися коэффициентами см. Свами (1971).