3а.3. Ковариационно-стационарные ряды.

Разностные уравнения, соответствующие ковариационно-стационарным рядам, — это, как правило, и ARMA-уравнения, рассмотренные ранее, с добавлением детерминированного тренда.

Рис. 3а.2.1. Расходы на товары длительного пользования (ряд (По Нельсону, 1973.)

Рис. 3а.2.2. Первые разности ежеквартальных данных о

Функциями тренда могут быть функции вида отражающие линейный рост, синусоидальное поведение и т. д. Таким

образом, такие процессы можно считать суммой слабостационарных процессов и детерминированной функции времени. Класс чисто детерминированных моделей или класс моделей с детерминированным сигналом и аддитивным шумом охватывается классом ковариационно-стационарных моделей.

Зависящие от времени функции детерминированного тренда, входящие в разностное уравнение, часто представляют собой детерминированную часть экзогенных входов системы. Если вклад отдельных экзогенных входов в заданный процесс нельзя оценить или проконтролировать, наилучшим подходом будет включение детерминированных членов для объяснения наличия различных экзогенных входов в разностном уравнении. Рассмотримт к примеру, месячный речной поток. Основной вклад в речной поток могут вносить атмосферные осадки. Однако измеренное количество осадков значительно изменяется от точки к точке в бассейне реки, и может оказаться, что очень трудно оценить выпадение осадков над большой территорией большого бассейна и их вклад в речной поток. В таких случаях на первом шаге желательно исключить из уравнений месячного потока члены, соответствующие дождю, и ввести синусоидальную функцию времени, представляющую детерминированную часть дождевого вклада в различных точках бассейна. Модели для месячных речных потоков с синусоидальным трендом гораздо лучше моделей без синусоидального тренда. Другим примером является рассмотренный ранее временной ряд, описывающий годовой объем сбыта компании Рост сбыта частично объясняется общим экономическим ростом. Трудно идентифицировать соответствующие экзогенные переменные. Вместо этого мы можем представить соответствующее ожидаемое значение экзогенных переменных в виде комбинации таких членов, как

Ковариационно-стационарные процессы используются также при моделировании систем для анализа причинных связей между переменными. Например, при исследовании окружающей среды важно знать, вызвано ли выпадение осадков в районе урбанизацией или же наличием больших искусственных водоемов. Ответы на эти вопросы должны быть получены с помощью динамических моделей для процесса выпадения осадков, поскольку последовательные значения осадков могут быть сильно корролированы. Если количество осадков в момент то можно рассмотреть следующую модель для определения возможной причинной связи:

где момент времеии, начиная с которого экзогенные

эффекты, такие как урбанизация, можно считать существенными и учитывать их воздействие на характеристики осадков впоследствии.

Функция тренда является разрывной, но ею можно пользоваться точно так же, как и непрерывными функциями, при оценке параметров.