2. Второй вывод формулы Ньютона.

Можно привести еще один интересный формальный вывод этой формулы. Условимся символом (оператор) обозначать прибавление величины к аргументу функции, так что Будем рассматривать операцию взятия конечной разности от как действие на эту функцию оператора :

Очевидно, имеем

Мы видим, что действие оператора эквивалентно действию оператора поэтому естественно эти операторы считать равными

Прибавление к аргументу функции числа, содержащего целое число раз, естественно обозначить соответствующей целой степенью оператора (итерация). Прибавление же всякого другого числа естественно обозначить оператором так что

При имеем

Заменяя через получим

Разложим теперь формально бином по известному правилу в бесконечный ряд (операторов). Тогда найдем

Раскрывая скобки, получим ряд, первые членов которого изображают интерполяционный многочлен

Полагая следовательно, мы приведем эта формулу к прежним обозначениям:

т. е. первые членов ряда (36), составляющих интерполи рующий многочлен могут быть получены из равенства

Неточность этого вывода заключается в том, что разложимость в бесконечный ряд по оператору остается не обоснованной. Кроме того, в таком формальном разложении отсутствует остаточный член, с помощью которого можно было бы судить о приближении к значениям функции при отбрасывании всех членов ряда, начиная с некоторого места. В этом случае, когда — многочлен, этот вывод представляет собой обычный вывод, только проведенный формально.