6. Связь между индикатрисой роста целой аналитической функции первого порядка нормального типа и расположением особенностей ассоциированной с ней функции.

Пусть — целая функция первого порядка и нормального типа а, т. е.

Пусть, далее, — ее индикатриса роста

Рассмотрим функцию ассоциированную по Борелю с функцией Мы уже знаем, что функция будет регулярна вне круга где тип .

Возьмем наименьшую выпуклую область, содержащую все особенности Такую область мы будем называть выпуклой областью функции Построим опорную функцию этой ограниченной выпуклой области и назовем диаграммой функции Мы можем доказать теперь теорему, связывающую индикатрису и диаграмму

Теорема II. Если целая функция первого порядка и конечного типа а, то ее индикатриса

связана с диаграммой функции соотношением

Доказательство. Рассмотрим прежде всего интегральное представление функции с помощью

где контур С может быть любым замкнутым контуром в плоскости комплексного переменного С, не проходящим через начало и содержащим внутри себя все особенности регулярной в бесконечности функции

Интеграл в правой части этой формулы действительно равен

В этом мы можем убедиться, проинтегрировав почленно ряд Лорана, представляющий в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пусть — выпуклая область функции — выпуклая область, состоящая из точек строго внутри , — граница Вне ограничена, поэтому, полагая будем иметь

Но если С лежит на контуре то по свойствам опорных функций этого контура и выпуклой области особенностей

для всякого Отсюда следует, что

Обратно, мы можем представить функцию с помощью функции интегралом

который будет абсолютно сходиться при заданном если только , значит, регулярна для всякого для

которого по крайней мере для одного значения .

Покажем справедливость интегрального представления (42) функции Заметим, что . Положим Возьмем в плоскости комплексного переменного С сектор с центром в начале, ограниченный лучами окружности Границу этого сектора обозначим через С. Тогда по теореме Коши

Но подынтегральная функция удовлетворяет на контуре С неравенству

Увеличивая до бесконечности, мы видим из неравенства (44), что часть интеграла (43), взятая по дуге стремится к нулю и, значит,

Но интеграл в левой части равенства (45) на основании неравенства (44) будет равномерно сходяшимся при а интеграл в правой части будет равномерно сходящимся при

Итак, интеграл в левой части (45) определяет аналитическую функцию регулярную вне круга и внутри угла с раствором у. Аналогично, правая часть соотношения (45) есть аналитическая функция регулярная вне круга и внутри угла тоже раствора у

Но обе эти области имеют общую часть и, значит, интегралами в левой и правой частях равенства (45) определяется при любом одна и та же функция регулярная вне круга . Отсюда следует, что правая часть равенства (42) не зависит от . Полагая и интегрируя почленно, мы

получим

Этим представление с помощью равенством (42) окончательно доказано.

Вернемся к полученному нами результату, что регулярна для всякого для которого При фиксированном уравнение представляет прямую, так как ни при каком не может быть равно Действительно, в противном случае соотношение (42) дает регулярность во всей плоскости, что влечет за собой тождественное равенство нулю и и Плоскость комплексного переменного разбивается прямой на две полуплоскости, причем регулярна в той из этих полуплоскостей, для всех точек которой Если есть наименьшая выпуклая область, содержащая все особенности то прямая не может разбивать на две части так, чтобы существовали точки находящиеся по обе стороны этой прямой. Действительно, допустив, что наша прямая разбивает на две подобные части, мы приходим к тому, что все особенности должны находиться в одной из этих частей, назовем ее Но прямая делит любую выпуклую область только на выпуклые же области. Значит, выпуклая область содержит все особенности и мы приходим к противоречию, так как есть лишь часть Итак, должна целиком лежать в полуплоскости, точки которой подчинены неравенству

Отсюда мы получаем неравенство

Из неравенства (41) и этого последнего неравенства непосредственно следует, что Этим теорема II доказана.

Более подробные сведения о целых функциях читатель может найти, например, в книге А. И. Маркушевича «Теория аналитических функций», Гостехиздат,