ГЛАВА II. РЯД НЬЮТОНА

§ 1. Вспомогательные предложения

1. Некоторые часто встречающиеся оценки.

В дальнейшем нам очень часто придется пользоваться приближенными выражениями двух сумм:

Общий способ нахождения приближенных значений с любой степенью точности, возрастающей с ростом для сумм такого типа будет рассмотрен в главе IV.

Так как приближенные значения этих двух сумм при больших значениях или, как принято обычно говорить, асимптотические представления этих простейших сумм, нам будут очень часто необходимы уже в этой главе, то, чтобы не затруднять читателя, мы дадим здесь простым методом оценки этих сумм с нужной в этой главе точностью.

Рассмотрим бесконечную сумму

Но очевидно, что

откуда следуют неравенства для С

значит, наш ряд (2) для константы С — сходящийся. Эта константа носит название константы Эйлера. Тождество (2) кожет быть

переписано в другом виде, именно:

так как

Из очевидных неравенств

следует

и, наконец, верное при всяком соотношение

Это и есть нужная нам оценка суммы обратных величин чисел натурального ряда.

Формула (3) может быть записана в другой форме. Пусть — число из интервала Тогда соотношение (3) может быть записано в форме

так как

и

Рассмотрим теперь бесконечную сумму

Докажем прежде всего, что наш ряд — сходящийся, для чего найдем оценки сверху и снизу. Мы можем с помощью простых преобразований установить, что

так как это — знакопеременный ряд с монотонно убывающими членами при

Далее,

так как этот последний ряд будет при или знакопеременным рядом с монотонно убывающими членами вследствие неравенства

Отсюда следует окончательно, что

при и что ряд (4) — абсолютно сходящийся. Преобразуя сумму (4), мы будем иметь теперь равенство

или так как

и

то, выполняя суммирование, будем иметь равенство

и окончательно равенство

где — постоянное число. Это асимптотическое представление носит название формулы Стирлинга. Она может быть записана и в другой форме, именно:

Постоянная как мы сейчас покажем, равна для этой цели рассмотрим интеграл

Вычисляя его интегрированием по частям, мы будем иметь, что

Применяя формулу Стирлинга, мы получим отсюда выражение для

С другой стороны, делая подстановку на интервале мы будем иметь, что

так как подынтегральная функция во втором интеграле достигает своего максимума при верхнем пределе. Наконец, делая новую замену мы получаем окончательно, что

Из соотношений (8) и (9) мы получаем, что

Переходя к пределу при мы получаем, наконец, что

так как значение последнего интеграла, как хорошо известно из курса анализа, равно Заметим, что это значение нами будет несколько ниже получено при изучении функции