Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 6. Теорема ГёльдераЕсли провести параллель между дифференциальными и разностными уравнениями, то можно сказать, что порождаемые тем или иным типом дифференциальных уравнений функции часто существенно отличаются по своей природе от функций, порождаемых аналогичным типом разностных уравнений. Для того чтобы разъяснить это утверждение, мы приведем теорему, доказанную Гельдером. Функция
являющаяся решением простейшего алгебраического разностного уравнения
не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с полиномиальными коэффициентами. Мы приредем здесь одно из наиболее простых доказательств этой теоремы, принадлежащее Островскому. Пусть функция
где
а Прежде всего введем понятие веса и размерности левой части уравнения (70). Левая часть уравнения (70) будет состоять из членов вида
где
а весом этого члена — сумму
Мы можем расположить сумму, стоящую в левой части (70), в порядке убывания размерностей ее членов, а члены одинаковых размерностей — в порядке убывания их весов. Тогда мы будем иметь слева в (70) некоторую группу членов вида (71), имеющих одинаковую и максимальную в данном уравнении размерность, а среди членов той же размерности, принадлежащих (70), — максимальный вес. Члены этой группы мы опять можем расположить в некотором порядке, а именно, в порядке убывания порядков и степеней производных, входящих в члены этой группы. Возьмем теперь среди членов этой группы подгруппу членов, содержащих высшую производную следующую по порядку производную, тоже в максимальной степени и т. д. Мы приведем тогда после некоторого конечного числа шагов к одному члену левой части (70), который будет называться в дальнейшем высшим членом (70). Этот высший член, имеющий вид
где Но если Из всех этих уравнений мы выберем такое, которое имеет наименьший в указанном смысле высший член, коэффициент при котором Выбранное нами таким образом уравнение, характеризующееся своим высшим членом, которому в свою очередь соответствует последовательность величин
единственно, так как если бы существовало два таких уравнения, то их разность, отличная от нуля, имела бы по крайней мере степенью Это уравнение, которое мы запишем теперь в форме
обладает и еще одним очень важным свойством. Пусть имеется другое уравнение с тем же высшим членом, коэффициент при котором будет Более того, очевидно, что если наше наименьшее уравнение будет Докажем теперь, что все члены вида (71) уравнения (72) должны быть одной и той же размерности
где По предположению
Но так как
— однородные и линейные соотношения по
причем равенство возможно только в случае
где
Пусть наибольшая степень х, входящая в
тождественно. Итак,
где по-прежнему Обозначим эти коэффициенты через
причем будем считать нули полинома
Коэффициенты членов наибольшего веса, входящих в
должно делиться на
Отсюда непосредственно получим, так как
мы получим, что
где
есть делитель Так как уравнение Но если Итак, допустим, что
все члены веса
должны делиться на Итак, исходя из минимальности уравнения
Возвращаясь к соотношению
мы получим, что
или
Значит, все Но совокупность членов веса
где в первое слагаемое вошли все члены, получившиеся от членов веса
и будет равен
Итак,
есть тождество по всем переменным
|
1 |
Оглавление
|