§ 6. Теорема Гёльдера

Если провести параллель между дифференциальными и разностными уравнениями, то можно сказать, что порождаемые тем или иным типом дифференциальных уравнений функции часто существенно отличаются по своей природе от функций, порождаемых аналогичным типом разностных уравнений. Для того чтобы разъяснить это утверждение, мы приведем теорему, доказанную Гельдером.

Функция

являющаяся решением простейшего алгебраического разностного уравнения

не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению с полиномиальными коэффициентами.

Мы приредем здесь одно из наиболее простых доказательств этой теоремы, принадлежащее Островскому.

Пусть функция есть интеграл алгебраического дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентам т. е.

где

а — многочлены относительно х.

Прежде всего введем понятие веса и размерности левой части уравнения (70). Левая часть уравнения (70) будет состоять из членов вида

где будут целые числа, а — некоторые многочлены по х. Размерностью каждого члена этой суммы мы будем называть число

а весом этого члена — сумму

Мы можем расположить сумму, стоящую в левой части (70), в порядке убывания размерностей ее членов, а члены одинаковых размерностей — в порядке убывания их весов. Тогда мы будем иметь слева в (70) некоторую группу членов вида (71), имеющих одинаковую и максимальную в данном уравнении размерность, а среди членов той же размерности, принадлежащих (70), — максимальный вес. Члены этой группы мы опять можем расположить в некотором порядке, а именно, в порядке убывания порядков и степеней производных, входящих в члены этой группы. Возьмем теперь среди членов этой группы подгруппу членов, содержащих высшую производную в максимальной степени, среди членов этой новой подгруппы выберем новую подгруппу, содержащую

следующую по порядку производную, тоже в максимальной степени и т. д. Мы приведем тогда после некоторого конечного числа шагов к одному члену левой части (70), который будет называться в дальнейшем высшим членом (70). Этот высший член, имеющий вид

где имеет в (70) максимальную размерность среди членов этой размерности — максимальный вес среди членов размерности и веса — максимальную степень производной Итак, он «больше» всех остальных членов левой части (70) или размерностью, или весом, или одной из степеней производных.

Но если удовлетворяет (70), то удовлетворяет и бесчисленному множеству алгебраических дифференциальных уравнений, которые могут получаться хотя бы от дифференцирования левой части (70) по х. Мы можем теперь характеризовать каждое из этих уравнений его высшим членом.

Из всех этих уравнений мы выберем такое, которое имеет наименьший в указанном смысле высший член, коэффициент при котором имеет наименьшую из возможных степень Во всех уравнениях коэффициент (числовой) при х в высшей степени в коэффициенте при высшем члене мы можем положить равным единице.

Выбранное нами таким образом уравнение, характеризующееся своим высшим членом, которому в свою очередь соответствует последовательность величин

единственно, так как если бы существовало два таких уравнения, то их разность, отличная от нуля, имела бы по крайней мере степенью число, меньшее

Это уравнение, которое мы запишем теперь в форме

обладает и еще одним очень важным свойством.

Пусть имеется другое уравнение с тем же высшим членом, коэффициент при котором будет степени Тогда ясно, что многочлен нацело должен делиться на так как иначе можно было бы найти уравнение с меньшим высшим членом.

Более того, очевидно, что если наше наименьшее уравнение будет а другое уравнение с тем же высшим членом будет , то тождественно в переменных

Докажем теперь, что все члены вида (71) уравнения (72) должны быть одной и той же размерности Уравнение (72) может быть записано в форме

где — группы членов размерности и веса — совокупность членов (72) размерности ниже

По предположению удовлетворяет (72). Но значит, заменив в на мы придем к тому, что удовлетворяет и уравнению

Но так как

— однородные и линейные соотношения по то от подстановки вместо у размерность членов, получающихся из члена вида (71) размерности будет также Вес же любого члена, полученного в результате этой подстановки из члена вида (71) размерности и веса не может превысить так как

причем равенство возможно только в случае . В связи с этим высший член уравнения будет

будет размерности ниже Отсюда следует по ранее замеченному свойству минимального уравнения, что должно нацело делиться на и

где — многочлен степени Так как это соотношение есть тождество в переменных то из него непосредственно следует и тождество для членов размерности меньше

Пусть наибольшая степень х, входящая в будет Но так как размерность меньше то наибольшая степень х, входящая в не будет превышать степень же в правой части этого тождества будет Значит, мы пришли к противоречию и

тождественно. Итак,

где по-прежнему есть совокупность членов размерности и веса Докажем теперь, что члены, входящие в к которым мы причисляем и высший член, имеют постоянные коэффициенты.

Обозначим эти коэффициенты через а их общий наибольший делитель запишем в виде

причем будем считать нули полинома расположенными в порядке убывания их действительных частей, т. е.

Коэффициенты членов наибольшего веса, входящих в будут равны а их общий наибольший делитель, очевидно, будет . С другой стороны, на основании ранее выведенного тождества для всех и значит, этот же наибольший общий делитель должен быть равен Поэтому Следовательно, выражение

должно делиться на

Отсюда непосредственно получим, так как расположены в порядке убывания их действительных частей, что

Воспользовавшись опять соотношением

мы получим, что выразится так:

где

есть делитель Теперь легко будет доказать, что все коэффициенты всех делятся на

Так как уравнение есть минимальное уравнение, то степень многочлена не может ни в каком уравнении с тем же высшим членом быть меньше степени

Но если то, так как все коэффициенты при всех членах должны, как мы сейчас легко покажем, делиться на мы придем к противоречию, и

Итак, допустим, что есть наибольшее число, при котором не делится на . Тогда все делятся на Но в силу соотношения

все члены веса в выражении

должны делиться на , значит, на т. е. на делится так как члены того же веса, получающиеся из членов, принадлежащих к какому-нибудь имеют коэффициенты, делящиеся по предположению на Но, значит, делится на так как не делится на х.

Итак, исходя из минимальности уравнения мы доказали, что Значит, так как — многочлен степени то

Возвращаясь к соотношению

мы получим, что

или

Значит, все — константы в том числе и — константа].

Но совокупность членов веса которая может получиться только из членов веса и принадлежащих изобразится в форме

где в первое слагаемое вошли все члены, получившиеся от членов веса а во второе — от членов веса Далее, выражение

имеет высшим членом, очевидно, член, который получится из

и будет равен

Итак, — не тождественный нуль и имеет постоянные коэффициенты. Значит, и выражение (73) не может быть тождественным нулем, так как оно не делится на Мы пришли к противоречию, так как равенство

есть тождество по всем переменным и значит, совокупность членов веса в должна делиться нацело на Этим теорема Гёльдера доказана.