§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка
1. Уравнения бесконечного порядка как обобщение линейных разностных уравнений.
До сих пор в этой главе мы рассматривали разностные уравнения, считая как заданные, так и искомую функцию, определенными лишь для целых значений аргумента или в крайнем случае на положительной действительной полуоси. Задачу решения разностных уравнений можно рассматривать и для аналитических функций комплексного переменного. В этом случае задачи ставятся несколько иначе. В этом параграфе мы разберем для аналитических функций только решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, но эти уравнения мы будем рассматривать как частный случай уравнений более общего вида, которые, вообще говоря, к разностным уравнениям сведены быть не могут.
Естественным обобщением линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами являются уравнения вида
где 
— произвольные постоянные. Уравнения типа (74) в свою очередь принадлежат к классу дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами
характеристические функции которых
суть целые функции первого порядка нормального типа 
другими словами,
В этом случае, когда 
— целая функция, линейный оператор 
будем называть нормальным оператором. В снлу линейности уравнения (75) его общее решение есть сумма одного частного решения этого уравнения и общего решения однородного уравнения 
Предполагая, что 
— целая функция, мы рассмотрим ниже структуру общего решения уравнения (75) в классе целых функций. Случай, когда 
— целые функции, а оператор 
— не обязательно нормальный, разобран подробно в главе III, § 4. Здесь мы займемся изучением только нормальных операторов, но уже для любых целых функций. Выясним прежде всего, насколько нормальный оператор типа а может увеличить рост целой функции 
т. е. насколько рост 
может превосходить рост 
Можно написать
где
ассоциированная по Борелю с 
регулярная вне круга 
функция. Если интеграл в правой части (77) оценить по модулю, получим неравенство
где 
— максимум модуля 
постоянная, зависящая только от 
Итак, рост 
не может существенно превосходить рост 
