6. Выражение многократной суммы через однократную.

В качестве примера на этот способ отыскания частных решений уравнения с правой частью найдем выражение многократной суммы от некоторой функции через однократную.

Рассмотрим уравнение

или, что то же самое:

У этого уравнения , значит, Далее, мы можем легко убедиться, что функции которые являются частными решениями нашего однородного уравнения будут линейно независимыми, так как соотношение с постоянными коэффициентами есть уравнение самое большее степени относительно х и не может иметь при любых постоянных не равных нулю в совокупности, больше корней.

Мы уже знаем, что для линейно независимых решений уравнения порядка имеет место выражение

значит, в нашем случае

Совершенно так же, так как будут линейно независимые решения уравнения

Теперь мы можем записать частное решение нашего неоднородного уравнения

Но определитель, стоящий под знаком суммирования в числителе, есть многочлен относительно х и причем относительно х степени так как коэффициент при в нем равен величине

отличной от нуля и не зависящей от х. Рассматривая этот многочлен как функцию х, мы видим, что он тождественно равен нулю по для х, равных Значит, он равен

где есть также многочлен относительно Но коэффициент при равен откуда следует, что наш определитель равен

Но

и вставляя в выражение для все найденные значения определителей и их отношений, мы получаем окончательно

Общее решение нашего неоднородного уравнения будет:

где — постоянные. Задавая начальные значения мы легко убедимся, что этими начальными значениями определится наше частное решение с другой стороны, этими же начальными значениями определяется и функция

которая также служит частным решением нашего уравнения. Но задание частных значений единственным образом определяет решение. Значит, мы получаем тождество

дающее выражение -кратной суммы через однократную.