Решением уравнения (1) мы будем называть такую функцию
которая обращает левую часть в нуль тождественно (т. е. для всех значений х).
Соотношение
если представить все
через
может быть переписано в виде
Это соотношение связывает
значение нашей функции. Отсюда, если это уравнение записать в форме
то ясно, что, задав начальные значения при
получим значение
и вообще
при любом целом х.
При этом, очевидно, достаточно считать
функцией конечной и определенной при
где
— любое целое число, и у, пробегающих все значения.
Поэтому решение нашего уравнения можно записать в виде
т. е. оно будет зависеть от
начальных значений
Обратно, если у нас есть семейство функций
определенных на последовательности точек
где
— целое число, то, исключая из уравнений
константы
мы получим разностное уравнение, вообще говоря,
порядка для
Очевидно также, что можно считать величины
не числами, а произвольными периодическими функциями периода единица. Тогда по-прежнему можно из нашей системы исключить эти функции. Но если допустить, что х пробегает последовательность
то предположения, что
— постоянная или периодическая функция, эквивалентны.
Итак, вообще говоря, общее решение разностного уравнения
порядка будет зависеть от
произвольных периодических функций периода единица.
Если х пробегает дискретную последовательность значений
то, как мы уже видели, эти
периодических функций сводятся к
постоянным, для определения которых достаточно знать
начальных значений, с помощью которых и определяется единственное, вообще говоря, решение, имеющее заданные начальные значения и определенное на нашей последовательности значений х. Допустим теперь, что функция
определена и непрерывна при всех вещественных
Тогда, очевидно, можно поставить вопрос о том, что нужно задать, чтобы получить единственное и непрерывное для всех вещественных значений х решение уравнения
Нетрудно видеть, что если в интервале
задать непрерывную функцию, непрерывную в точке
слева, а в точке нуль — справа и такую, что ее значения в точках
связаны нашим уравнением, то этим определится единственная непрерывная на всей вещественной оси функция, совпадающая с заданной на интервале
и удовлетворяющая нашему уравнению.
В дальнейшем мы будем считать х меняющимся по дискретной последовательности — арифметической прогрессии. Кроме того, можно считать, что равноотстоящие значения имеют разность единица, так как случай разности, равной произвольному
может быть приведен к этому подстановкой
Если же во всех последующих теоремах считать х непрерывно изменяющимся, то всюду в теоремах вместо произвольных постоянных будут входить произвольные функции х, а условие необращения в нуль определителя должно быть выполнено для всех значений х в интервале
Задачу решения разностного уравнения можно ставить в комплексной области. В этом случае возможны различные постановки задачи. Мы остановимся лишь на одной из них, являющейся частным случаем поставленной в главе III задачи о построении целой функции по заданным элементам.