ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

§ 1. Постановка задачи

Соотношение

где функция задана, функция — искомая, мы будем называть разностным уравнением с одной неизвестной функцией притом порядка если соотношение (1) после замены приращений их выражениями через явно содержит как так и

Если уравнение (1) после упрощений не содержит его естественно считать порядка ниже Если же оно не содержит но содержит, скажем, то замена независимого переменного на х приводит это уравнение к уравнению порядка Здесь лежит глубокое различие между уравнениями в конечных разностях и уравнениями дифференциальными, где замена независимого переменного порядка уравнения не понижает. Поясним высказанную мысль примером; рассматривая разностное уравнение

при помощи формул

приведем его к следующему:

и, заменяя на х, получим уравнение

первого порядка. Соответственно этому и уравнение мы будем считать уравнением первого порядка.

Решением уравнения (1) мы будем называть такую функцию которая обращает левую часть в нуль тождественно (т. е. для всех значений х).

Соотношение если представить все через может быть переписано в виде

Это соотношение связывает значение нашей функции. Отсюда, если это уравнение записать в форме

то ясно, что, задав начальные значения при получим значение и вообще при любом целом х.

При этом, очевидно, достаточно считать функцией конечной и определенной при где — любое целое число, и у, пробегающих все значения.

Поэтому решение нашего уравнения можно записать в виде

т. е. оно будет зависеть от начальных значений

Обратно, если у нас есть семейство функций

определенных на последовательности точек где — целое число, то, исключая из уравнений

константы мы получим разностное уравнение, вообще говоря, порядка для

Очевидно также, что можно считать величины не числами, а произвольными периодическими функциями периода единица. Тогда по-прежнему можно из нашей системы исключить эти функции. Но если допустить, что х пробегает последовательность то предположения, что — постоянная или периодическая функция, эквивалентны.

Итак, вообще говоря, общее решение разностного уравнения порядка будет зависеть от произвольных периодических функций периода единица.

Если х пробегает дискретную последовательность значений то, как мы уже видели, эти периодических функций сводятся к постоянным, для определения которых достаточно знать начальных значений, с помощью которых и определяется единственное, вообще говоря, решение, имеющее заданные начальные значения и определенное на нашей последовательности значений х. Допустим теперь, что функция

определена и непрерывна при всех вещественных

Тогда, очевидно, можно поставить вопрос о том, что нужно задать, чтобы получить единственное и непрерывное для всех вещественных значений х решение уравнения

Нетрудно видеть, что если в интервале задать непрерывную функцию, непрерывную в точке слева, а в точке нуль — справа и такую, что ее значения в точках связаны нашим уравнением, то этим определится единственная непрерывная на всей вещественной оси функция, совпадающая с заданной на интервале и удовлетворяющая нашему уравнению.

В дальнейшем мы будем считать х меняющимся по дискретной последовательности — арифметической прогрессии. Кроме того, можно считать, что равноотстоящие значения имеют разность единица, так как случай разности, равной произвольному может быть приведен к этому подстановкой

Если же во всех последующих теоремах считать х непрерывно изменяющимся, то всюду в теоремах вместо произвольных постоянных будут входить произвольные функции х, а условие необращения в нуль определителя должно быть выполнено для всех значений х в интервале

Задачу решения разностного уравнения можно ставить в комплексной области. В этом случае возможны различные постановки задачи. Мы остановимся лишь на одной из них, являющейся частным случаем поставленной в главе III задачи о построении целой функции по заданным элементам.