3. Определение целой функции по значениям последовательных производных.

Если заданы величины последовательных производных целой функции в одной и той же точке, например в точке т. е.

то

и значит, эти условия определяют только одну целую функцию если Если же этот верхний предел отличен от нуля, то не существует ни одной целой функции, удовлетворяющей условиям (38). Если мы хотим найти целую функцию, удовлетворяющую условиям

в случае, когда числа имеют точку накопления на конечной части плоскости, то на как легко видеть, необходимо накладывать определенные ограничения. Если же то всегда существует бесчисленное множество целых функций, удовлетворяющих условиям (39). Это утверждение может быть без труда доказано с помощью некоторого обобщения формулы (3) § 1. Найти же представление всех целых функций, удовлетворяющих

условиям (39), в сколько-нибудь обозримой форме в общем случае трудно. Мы остановимся на этой задаче для частного случая и решим ее до конца.

Определим прежде всего все целые функции, удовлетворяющие условиям

Рассмотрим функцию двух комплексных переменных

при Этафункция является регулярной в бесконечности функцией С.

Далее, имеем

где как легко видеть, - многочлен степени относительно Так как имеет особенности только в точках то

Дифференцируя раз по и полагая мы получаем, что при

Отсюда следует на основании соотношений (42), что при любом удовлетворяет условиям (40), так как всегда можно взять

Пусть целая функция принадлежит к классу функций для которых выполняются условия (40) и

Рассмотрим функцию

ассоциированную с Так как целая функция, то вследствие ряд (46) равномерно сходится в области при любых и значит, регулярна в любой точке . В точках может иметь полюса первого порядка. Подсчитаем вычет в полюсе Находя вычеты каждого члена ряда (46) при и суммируя их, мы получаем величину этого вычета

так как удовлетворяет условиям (40). Итак, если принадлежит к классу то — целая функция. В этом случае между существует связь, даваемая соотношением

где С — любая окружность Действительно,

где — окружность так как

а

Замена контура С контуром возможна, так как целая функция.

Пользуясь соотношениями (42), из представления (48) мы найдем

Этот ряд равномерно сходится в любой конечной области плоскости вследствие того, что — целая функция и выполняется предельное соотношение (43). Обратно, если то ряд (49) представляет целую функцию удовлетворяющую условиям (40), так как все этим условиям удбвлетворяют. Мы нашли, таким образом, представление любой целой функции класса

Теорема III. Каковы бы ни были числа всегда существует целая функция удовлетворяющая условиям

причем любая такая функция может быть представлена в виде

где подчинены только условию — целые положительные числа, удовлетворяющие неравенствам

а определяются соотношением (42).

Доказательство. Многочлены связаны с функцией соотношением

Отсюда непосредственно следует, что

Далее, из (42) следует, что при

Выбрав удовлетворяющими неравенствам (52), мы можем утверждать, что функция

— целая функция. Эта функция будет подчиняться условиям (50) в силу (53) и (44). Всякая другая целая функция, подчиняющаяся условиям (50), будет суммой и целой функции класса Это доказывает нашу теорему.

Задачей определения целой функции в классах единственности по значениям ее последовательных производных в точках натурального ряда мы займемся ниже.