3. О малой теореме Ферма.
Теперь мы рассмотрим одно замечательное арифметическое свойство чисел Бернулли, известное под названием теоремы Штаудта. При получении этого свойства мы будем пользоваться следующей теоремой из теории чисел: число
где
— число простое,
любое целое число, не делящееся на
делится на
(малая теорема Ферма).
Во всем дальнейшем для сокращения мы будем пользоваться следующей символикой и терминологией, заимствованной из теории сравнений: если в разности
число С содержится целое число раз, то мы будем говорить, что А «сравнимо» с В по модулю С, и писать
. В наших рассуждениях числа
будут целыми, хотя это, вообще говоря, в указанной записи и не подразумевается. Отметим следующие очевидные факты: если
, то
; в самом деле, по условию числа
и
делятся нацело на С, следовательно, в их разности
число С также содержится целое число раз. Если мы имеем сумму и если каждое слагаемое этой суммы сравнимо с некоторым числом
по одному и тому же модулю С, то
(сравнения можно почленно складывать). Ясно также, что из
следует:
(обе части сравнения можно возвышать в целую степень и умножать на целое число). В том случае, когда какое-нибудь число сравнимо с нулем, оно делится на модуль. Из
следует
. Наконец, если
, то
— число целое). Перечисленными свойствами сравнений мы воспользуемся несколько ниже.