3. О малой теореме Ферма.

Теперь мы рассмотрим одно замечательное арифметическое свойство чисел Бернулли, известное под названием теоремы Штаудта. При получении этого свойства мы будем пользоваться следующей теоремой из теории чисел: число где — число простое, любое целое число, не делящееся на делится на (малая теорема Ферма).

Во всем дальнейшем для сокращения мы будем пользоваться следующей символикой и терминологией, заимствованной из теории сравнений: если в разности число С содержится целое число раз, то мы будем говорить, что А «сравнимо» с В по модулю С, и писать . В наших рассуждениях числа будут целыми, хотя это, вообще говоря, в указанной записи и не подразумевается. Отметим следующие очевидные факты: если , то ; в самом деле, по условию числа и делятся нацело на С, следовательно, в их разности число С также содержится целое число раз. Если мы имеем сумму и если каждое слагаемое этой суммы сравнимо с некоторым числом по одному и тому же модулю С, то (сравнения можно почленно складывать). Ясно также, что из следует: (обе части сравнения можно возвышать в целую степень и умножать на целое число). В том случае, когда какое-нибудь число сравнимо с нулем, оно делится на модуль. Из следует . Наконец, если , то

— число целое). Перечисленными свойствами сравнений мы воспользуемся несколько ниже.