§ 2. Числа и многочлены Бернулли
1. Вычисление чисел Бернулли.
Как мы уже знаем, числа Бернулли
определяются из разложения
справедливого при
Для нахождения чисел
можно вычислить значение функции
и ее последовательных производных для
Так, например, сразу получаем
Однако этот метод сложен, ибо не существует простого выражения для
производной функции
, и лучше воспользоваться рекурентными формулами, вывод которых основан на следующем соображении.
По определению чисел Бернулли
Разлагая
в ряд, сокращая на
и освобождаясь от знаменателя, получим тождество
справедливое в круге
Переписывая это тождество в виде
и производя перемножение степенных рядов, найдем, что коэффициентом при
написанном произведении будет следующая
сумма:
Так как ряд, полученный после перемножения рядов, должен быть равен единице, то (единственность разложения!) все его коэффициенты за исключением первого должны обратиться в нуль, Это дает условие
Коэффициентом при
будет по-прежнему число
Соотношению (25) можно придать следующую удобную для запоминания форму. Прибавляя к обеим частям равенства (17) по
получим
откуда, умножая на
получим
Это последнее соотношение можно записать условно в виде
если все степени у чисел В при развертывании бинома в левой части заменять нижними индексами.
Соотношение (26) является искомым рекуррентным соотношением, определяющим числа Бернулли. Полагая в нем последовательно
из полученных рекуррентных соотношений сможем определить
Заметим, что полученная условная запись справедлива, только начиная с
так как при
соотношение (25) места не имеет.
Полагая
последовательно найдем:
Приведем таблицу чисел Бернулли до
включительно:
Итак, числа
определяются посредством соотношений (26) достаточно просто. Это — некоторые рациональные числа.