§ 2. Числа и многочлены Бернулли

1. Вычисление чисел Бернулли.

Как мы уже знаем, числа Бернулли определяются из разложения

справедливого при Для нахождения чисел можно вычислить значение функции и ее последовательных производных для Так, например, сразу получаем Однако этот метод сложен, ибо не существует простого выражения для производной функции , и лучше воспользоваться рекурентными формулами, вывод которых основан на следующем соображении.

По определению чисел Бернулли

Разлагая в ряд, сокращая на и освобождаясь от знаменателя, получим тождество

справедливое в круге

Переписывая это тождество в виде

и производя перемножение степенных рядов, найдем, что коэффициентом при написанном произведении будет следующая

сумма:

Так как ряд, полученный после перемножения рядов, должен быть равен единице, то (единственность разложения!) все его коэффициенты за исключением первого должны обратиться в нуль, Это дает условие

Коэффициентом при будет по-прежнему число

Соотношению (25) можно придать следующую удобную для запоминания форму. Прибавляя к обеим частям равенства (17) по получим

откуда, умножая на получим

Это последнее соотношение можно записать условно в виде

если все степени у чисел В при развертывании бинома в левой части заменять нижними индексами.

Соотношение (26) является искомым рекуррентным соотношением, определяющим числа Бернулли. Полагая в нем последовательно из полученных рекуррентных соотношений сможем определить Заметим, что полученная условная запись справедлива, только начиная с так как при соотношение (25) места не имеет.

Полагая последовательно найдем:

Приведем таблицу чисел Бернулли до включительно:

Итак, числа определяются посредством соотношений (26) достаточно просто. Это — некоторые рациональные числа.