2. Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции.

Первое представление разделенной разности имеет смысл для действительных Допустим теперь, что — произвольные комплексные числа, определена для изменяющегося в замкнутой области — наименьшей выпуклой области комплексной плоскости, содержащей все точки Эта область, очевидно, должна быть многоугольником, который в частном случае может выродиться в отрезок прямой. Допустим также что в области имеет ограниченную производную. Рассмотрим функции

и положим

Аргумент функции стоящей под знаком -кратного интеграла, как мы сейчас покажем, не выходит за пределы области Этот аргумент имеет вид

где так как

Докажем, что если любые точки комплексной плоскости, то точка

лежит в наименьшем выпуклом многоугольнике, содержащем эти точки. Будем действовать по индукции. Для случая одной точки утверждение очевидно. Предположим, что оно уже доказано для точек. Напишем

так как согласно индуктивному предположению точка лежит внутри наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего точки Далее,

Значит, точка С лежит на отрезке прямой между С и . Но и С и лежат внутри наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего точки поэтому и С лежит внутри того же многоугольника. Тем самым наше утверждение доказано. Применяя его к точкам убеждаемся, что лежат внутри

Произведем теперь в нашем интеграле интегрирование по Мы получим, что

Выражая интегралы в правой части через мы получим соотношения

Сравнивая эти соотношения, последовательно определяющие им с соотношениями (3) § 1 настоящей главы, служившими для последовательного определения разделенных разностей, мы видим, что эти соотношения одинаковы. Отсюда следует, что

До настоящего момента мы рассматривали разделенные разности только при действиях и различных Рекуррентные соотношения (46) непосредственно дают возможность определить разделенные разности при произвольных комплексных Соотношение же (47), верное при различных может служить вместе с тем и определением разделенной разности при любом числе совпавших между собой точек среди точек в предположении существования ограниченной производной порядка у функции в области

Из соотношений (46) следует также формула

справедливая при различных

Действительно, допустив, что эта формула справедлива при мы из соотношений (46) сразу получаем ее справедливость при При эта формула очевидна. Значит, соотношение (48) имеет место при любом Это соотношение показывает, что в символе разделенной разности любые перестановки узлов интерполяции не меняют величины разделенной разности. Действительно, при различных это прямо следует из соотношения (48), а случай совпадения значений узлов интерполяции можно рассматривать как результат предельных переходов, что и позволяет доказать справедливость нашего утверждения в общем случае.

Вопрос о представлении конечной разности в общем случае при любом числе совпадений среди точек с помощью значений и ее производных мы рассмотрим ниже.

Из соотношения (47) непосредственно следует неравенство

Далее, из представления (47) следует также, что для

каковы бы ни были точки

Вернемся к соотношениям (46). Из них следует, что разделенная разность для равна разделенной разности для поэтому в силу (47) можем написать

Если стремятся к x и имеет в точке производную, при

Чтобы получить для случая совпадения точек рекуррентные соотношения, аналогичные соотношениям (46), допустим, что среди наших точек имеется лишь различных, скажем, . Пусть повторяется раз, раз и т. д., раз . В этом случае соотношения (46) примут вид

Эти рекуррентные соотношения (51), отличающиеся от соотношений (46) только тем, что в них выполнен предельный переход, мы примем за общие соотношения, определяющие разделенные разности при допущении любого числа различных совпадений среди точек комплексной плоскости которые с повторениями совпадают с точками Из соотношений (51) непосредственно видно, что разделенная разность в этом случае есть линейная однородная форма от значений при кратности точки равной Р. Итак, для формального последовательного определения

разделенных разностей в случае наличия одинаковых среди совокупности узлов интерполяции необходимо предположить в каждом узле интерполяции уществование значений функции и ее производных до порядка, на единицу меньшего кратности узла. Из соотношений (46) следует опять, что

где — уже произвольные комплексные числа, а имеет определенные производные в каждой точке до порядка, на единицу меньшего кратности узла интерполяции. Многочлен

служит решением задачи, и притом единственным в силу соотношений (50), о нахождении многочлена степени не выше удовлетворяющего условиям

если совокупность точек у с кратностями совпадает с совокупностью точек

Действительно, в силу соотношений (52) и того, что обращается в нуль в точке вместе со своими производными до порядка соотношения (53) выполняются. Два многочлена степени не выше должны иметь на основании условий (53) одинаковые разделенные разности . Значит, — разность этих многочленов тоже многочлен степени не выше и должен иметь все разности равными нулю. Но в силу соотношения (52) равен нулю тождественно:

В самом деле, по условию и так как — многочлен степени не выше (равенства

Существование и единственность многочлена удовлетворяющего условиям (53), могут быть доказаны и непосредственно. В самом деле, условия (53) могут быть записаны в явной форме, если мы положим именно

Мы имеем, таким образом, систему из линейных уравнений для определения неизвестных

Определитель этой системы может быть непосредственно получен из определителя Вандермонда:

если мы возьмем от первую производную по вторую по по первую производную по -ю по и положим и т. д. Простые вычисления показывают, что

откуда и следует, что так как при Значит, наша система разрешима относительно а и имеет единственное решение.