Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции.Первое представление разделенной разности имеет смысл для действительных
и положим Аргумент функции
где
Докажем, что если
лежит в наименьшем выпуклом многоугольнике, содержащем эти точки. Будем действовать по индукции. Для случая одной точки утверждение очевидно. Предположим, что оно уже доказано для
так как
Значит, точка С лежит на отрезке прямой между С и Произведем теперь в нашем интеграле
Выражая интегралы в правой части через
Сравнивая эти соотношения, последовательно определяющие им
До настоящего момента мы рассматривали разделенные разности только при действиях и различных Из соотношений (46) следует также формула
справедливая при различных Действительно, допустив, что эта формула справедлива при Вопрос о представлении конечной разности в общем случае при любом числе совпадений среди точек Из соотношения (47) непосредственно следует неравенство
Далее, из представления (47) следует также, что для
каковы бы ни были точки Вернемся к соотношениям (46). Из них следует, что разделенная разность
Если
Чтобы получить для случая совпадения точек рекуррентные соотношения, аналогичные соотношениям (46), допустим, что среди наших
Эти рекуррентные соотношения (51), отличающиеся от соотношений (46) только тем, что в них выполнен предельный переход, мы примем за общие соотношения, определяющие разделенные разности при допущении любого числа различных совпадений среди точек комплексной плоскости разделенных разностей в случае наличия одинаковых среди совокупности узлов интерполяции необходимо предположить в каждом узле интерполяции
где
служит решением задачи, и притом единственным в силу соотношений (50), о нахождении многочлена степени не выше
если совокупность точек у с кратностями Действительно, в силу соотношений (52) и того, что
В самом деле, Существование и единственность многочлена
Мы имеем, таким образом, систему из Определитель
если мы возьмем от
откуда и следует, что
|
1 |
Оглавление
|