Эта производная удовлетворяет условиям, при которых была получена формула (79), именно производная при четном 
сохраняет знак, и все 
стремятся к нулю, когда 
Подставляя в формулу 
вместо 
и прибавляя (для симметрии) к обеим частям равенства по 
получим (суммирование от 
или
или окончательно
Это и есть формула Стирлинга.
Постоянное С можно определить, воспользовавшись формулой Валлисах)
Полагая в формуле Стирлинга 
найдем
а заменяя еще 
через 
Преобразуем допредельное выражение в формуле Валлиса следующим образом:
откуда
Приближая 
к бесконечности, в пределе получим
откуда
Ряд Стирлинга окончательно принимает следующий вид:
Ряд Стирлинга, очевидно, расходится, но тем не менее он дает возможность вычислять значения 
с большей точностью. Действительно, ряд Стирлинга представляет собой так называемый асимптотический ряд. Если 
имеет большое значение, то члены ряда от начала очень быстро убывают, и формула (80) показывает, что ошибка, получающаяся, если прервать ряд на каком-нибудь члене, имеет знак, обратный первому отбрасываемому члену, а по абсолютной величине меньше его.
Упражнения
(см. скан)
