4. Некоторые общие характеристики поведения целых аналитических функций.

Рассмотрим класс аналитических функций, которые не имеют особенностей ни в какой конечной части плоскости. Такие функции, как известно, называют целыми. К целым функциям принадлежат многочлены Класс целых функций достаточно широк. Любой ряд

если его радиус сходимости равен бесконечности, т. е. если

будет изображать некоторую целую функцию, т. е. аналитическую функцию, не имеющую особенностей ни в каком круге любого сколь угодно большого радиуса. В самом деле, в круге любого фиксированного радиуса ряд (23) при условии (24) сходится равномерно, и раз каждая функция ряда (23) регулярна в таком круге, то и сумма ряда изображает в рассматриваемом круге некоторую регулярную функцию. Обратно, аналитическая функция, не имеющая никаких особенностей в любой конечной части плоскости, разлагается в бесконечный ряд (23) с радиусом сходимости, равным бесконечности.

Одной из основных характеристик целой функции является ее рост. Введем в рассмотрение функцию определив ее как

С этой функцией мы уже встречались в предыдущей главе. Здесь мы более подробно изучим некоторые свойства этой характеристики целой функции.

Заметим прежде всего, что монотонно растет вместе с так как аналитическая функция не может принимать внутри замкнутой области своего максимального по модулю значения в этой области. В дальнейшем мы будем называть максимумом модуля целой функции.

Среди целых функций играет существенную роль подкласс функций конечного порядка. Функцию мы будем называть функцией порядка если для любого найдется такое

и в то же время

хотя бы по одной последовательности значений уходящей в бесконечность. Число предполагаем конечным. Рассмотрим в качестве примера и исследуем рост функции

Рост этой функции зависит от того, по какой последовательности значений мы будем уходить в бесконечность. Рассматривая поведение по прямым, исходящим из начала, легка заключаем, что при движении по действительной оси в положительном направлении, т. е. растет скорее всего, при движении в противоположном направлении скорее всего убывает. Если рассматривать движение по мнимой оси, т. е. положить и стремить то, так как

модуль остается все время постоянным и равным единице. Если же движется по прямой, наклоненной к действительной оси под углом а, т. е. то

и, следовательно,

Мы видим, что рост функции по прямой, наклоненной к действительной оси под углом а, зависит от этого угла. На приведенном примере мы видим, что функция обладает в отношении; роста некоторыми закономерностями, а так как, вообще говоря,

у других функций рост распределен по разным направлениям гораздо менее закономерно, то оказалось целесообразным определять рост функции по отношению к функции как это и дано выше. Нетрудно видеть, что порядок роста для функции равен единице. В самом деле, не может быть потому что если мы это предположим, то, выбирая тогди так, чтобы еще было мы получим, что должно выполняться условие

где Однако всегда можно указать такие значения для при которых это неравенство места не имеет. Стоит только положить (действительному числу), и мы получим

что не может иметь места ни для какого х в силу условия Предполагая опять придем к противоречию. Выбирая в этом случае столь малым, чтобы еще было мы получим, что для какой-то последовательности должно быть выполнено неравенство

где и опять придем к противоречию, так как для любого

Итак, может быть только а это, как нетрудно проверить, имеет место, так как

В качестве примера функции, имеющей порядок роста отличный от единицы, можно указать на функции имеющие соответственно порядки роста Существуют функции (и примеры их построены) любых дробных порядков (они даны в форме бесконечных произведений).

В качестве примера функции первого порядка мы можем взять также функцию

Нами была найдена выше асимптотическая формула для при любых достаточно больших значениях [см. (18)]; на основании этой формулы мы можем утверждать, что целая функция первого порядка.

Определить порядок целой функции можно с помощью Неравенства (26), очевидно, эквивалентны предельному соотношению

Для целой функции конечного порядка введем еще одну более тонкую характеристику роста целой функции — тип целой функции конечного порядка. Пусть — целая функция конечного порядка

Рассмотрим предел

Это число о называется типом функции. Если то называют функцией минимального типа, если то есть функция нормального типа, и если то есть функция максимального типа порядка Когда то часто вместо термина «тип» употребляют по аналогии с показательными функциями термин «степень» и в случае говорят, что есть функция конечной степени.

Целая функция есть функция первого порядка типа единица. есть целая функция первого порядка максимального типа, целая функция

как легко показать, сравнив ее с есть целая функция первого порядка минимального типа.

Следующей, еще более глубокой характеристикой роста целой функции конечного порядка и нормального типа является ее индикатриса Она определяется предельным соотношением

Сравнивая определение с определением типа мы видим, что . Далее, непосредственно видно, что , другими словами, что — периодическая функция . Индикатриса будет так как Индикатриса будет так как Тип целой функции конечного порядка может быть определен и через коэффициенты ряда Тейлора целой функции Так как в дальнейшем нам будет нужна связь между убыванием коэффициентов и ростом функции в основном для целых функций

первого порядка и конечного типа, то мы ограничимся при определении типа функции с помощью коэффициентов ряда Тейлора функциями этого класса.

Пусть — целая функция первого порядка конечного типа . Положим

Тогда имеет место равенство

Доказательство. Докажем сначала, что Действительно, по определению мы будем иметь, что при любом где С — постоянная, зависящая только от и не зависящая от Отсюда следует, что

Сравнивая это неравенство с определением типа (28), мы видим, что при любом другими словами, что о Докажем теперь неравенство о из него уже будет следовать, что Для этой цели воспользуемся хорошо известным из теории функций представлением коэффициентов ряда Тейлора с помощью интеграла Коши, именно:

где Г — любая окружность Положим где

— любое сколь угодно малое число. Из определения типа о следует также, что

где С зависит только от и не зависит от Оценивая по модулю правую и левую части равенства (32) и принимая во внимание, что модуль интеграла не превосходит максимума модуля подынтегральной функции, умноженного на длину пути интегрирования, а также и формулу Стирлинга (7), мы получим неравенство

где не зависит от откуда и следует неравенство

Так как это неравенство верно при всяком то, действительно,

Если целая функция не выше первого порядка и нормального типа, представляющаяся рядом Тейлора (30), то функция

называется ассоциированной с по Борелю. Доказанная нами теорема (31) позволяет утверждать, что радиус круга с центром в начале, вне которого ряд (33) абсолютно сходится, регулярна, равен . Между расположением особенностей и индикатрисой функцией существует тесная связь. Для установления этой связи нам придется изучить свойства выпуклых областей и их опорных функций.