3. Формула Ньютона.

Совершенно аналогично может быть выведена другая интерполяционная формула — формула Ньютона. Она по существу является той же формулой, только иначе записанной, чем формула Лагранжа; в этой другой записи имеются иногда и преимущества.

Для того чтобы получить эту формулу, мы должны вернуться к разделенным разностям, именно к разности

Воспользовавшись определением разделенной разности, последовательно находим из системы равенств (3)

Подставляя в предпоследнее соотношение последнее и т. д. до первого, мы получим выражение разделенной разности в виде

Выражение для получает следующий вид:

Остаточный член в выражении для получился тот же, что и при выводе формулы Лагранжа; это указывает на то, что и многочлен, входящий в правую часть, также тождествен с многочленом введенным в рассмотрение при выводе формулы Лагранжа. Формула (17) является, таким образом, той же интерполяционной формулой Лагранжа, только иначе записанной.

Указанные соображения о тождественности остаточного члена формулы (17) с остаточным членом формулы (16) Лагранжа позволяют формулу Ньютона записать так:

где

а лежит в одном интервале с точками . В изображении функции соотношением (18) имеется аналогия с формулой Тейлора. Произведение разностей является обобщением степени бинома, а квадратные скобки (разделенные разности) являются как бы обобщенными производными. Формула Ньютона, таким образом, является формулой, которой в

непрерывном анализе соответствует формула Тейлора. При этом формула Ньютона является обобщением формулы Тейлора, ибо нетрудно показать, что если точки стягиваются в одну точку, например в точку то формула Ньютона обращается в формулу Тейлора.

Для доказательства этого положения, устанавливающего связь между анализом дискретным и непрерывным, обратимся к выражению разделенной разности, которое легко может быть получено из выражения для остаточного члена, именно из соотношений (16) и (10) получим

Изменяя индексы, найдем

где лежит в одном интервале с точками -Полагая в формуле (19) последовательно равным затем предполагая, что все точки следовательно, вместе с ними и точка , стягиваются к точке получим

т. е. выражение коэффициента в формуле Тейлора при члене номера

Заметим, что формула Ньютона, очевидно, может быть записана тгакже и в следующем виде:

где имеет уже указанное значение, а точки лежат в одном интервале с точками При стягивании точек в одну точки стягиваются также в одну точку, именно в ту, в которую стягиваются точки х и мы опять получим формулу Тейлора.