3. Формула Ньютона.
Совершенно аналогично может быть выведена другая интерполяционная формула — формула Ньютона. Она по существу является той же формулой, только иначе записанной, чем формула Лагранжа; в этой другой записи имеются иногда и преимущества.
Для того чтобы получить эту формулу, мы должны вернуться к разделенным разностям, именно к разности
Воспользовавшись определением разделенной разности, последовательно находим из системы равенств (3)
Подставляя в предпоследнее соотношение последнее и т. д. до первого, мы получим выражение
разделенной разности в виде
Выражение для
получает следующий вид:
Остаточный член в выражении для
получился тот же, что и при выводе формулы Лагранжа; это указывает на то, что и многочлен, входящий в правую часть, также тождествен с многочленом
введенным в рассмотрение при выводе формулы Лагранжа. Формула (17) является, таким образом, той же интерполяционной формулой Лагранжа, только иначе записанной.
Указанные соображения о тождественности остаточного члена формулы (17) с остаточным членом формулы (16) Лагранжа позволяют формулу Ньютона записать так:
где
а
лежит в одном интервале с точками
. В изображении функции
соотношением (18) имеется аналогия с формулой Тейлора. Произведение разностей
является обобщением степени бинома, а квадратные скобки (разделенные разности) являются как бы обобщенными производными. Формула Ньютона, таким образом, является формулой, которой в
непрерывном анализе соответствует формула Тейлора. При этом формула Ньютона является обобщением формулы Тейлора, ибо нетрудно показать, что если точки
стягиваются в одну точку, например в точку
то формула Ньютона обращается в формулу Тейлора.
Для доказательства этого положения, устанавливающего связь между анализом дискретным и непрерывным, обратимся к выражению
разделенной разности, которое легко может быть получено из выражения для остаточного члена, именно из соотношений (16) и (10) получим
Изменяя индексы, найдем
где
лежит в одном интервале с точками
-Полагая в формуле (19) последовательно
равным
затем предполагая, что все точки
следовательно, вместе с ними и точка
, стягиваются к точке
получим
т. е. выражение коэффициента в формуле Тейлора при члене номера
Заметим, что формула Ньютона, очевидно, может быть записана тгакже и в следующем виде:
где
имеет уже указанное значение, а точки
лежат в одном интервале с точками
При стягивании точек
в одну точки
стягиваются также в одну точку, именно в ту, в которую стягиваются точки х и мы опять получим формулу Тейлора.