5. Неоднородное линейное уравнение. Метод вариации постоянных.

Мы уже знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения можно построить, если известно частное его решение и общее решение однородного уравнения. Займемся вопросом отыскания частных решений неоднородных уравнений, когда нам известны явно выраженные линейно независимых решений как функций х. При этом, конечно, не надо забывать, что, задавая начальных значений, мы вполне можем определить частное решение линейного уравнения порядка с правой частью

последовательным вычислением, но найти явное и простое выражение этого решения в функции х таким способом, вообще говоря, нельзя.

Мы дадим способ нахождения частного решения вариацией произвольных постоянных в общем решении однородного уравнения. Способ этот принадлежит Лагранжу.

Итак, возьмем линейно независимых решений линейного уравнения

коэффициенты которого определенны и конечны для всякого целого и относительно которого сделаем только одно допущение, а именно, что

для всех целых

Пусть теперь нам надо найти частное решение неоднородного уравнения

в котором так же как и определенно и конечно для всякого

Общее решение уравнения без правой части, как мы уже знаем, имеет вид

где — взятые нами линейно независимые решения, а — произвольные постоянные. Будем теперь считать функциями х и постараемся выбрать их так, чтобы оказалось частным решением неоднородного уравнения.

Выберем эти функции так, чтобы одновременно тождественно выполнялись следующих соотношений:

Из последнего уравнения имеем также, что

Первое уравнение этой системы легко упростить, пользуясь остальными.

Действительно, подставляя в первое уравнение правые части всех остальных уравнений, мы будем иметь к

или, меняя порядок суммирования, получаем к

откуда и имеем окончательно, что

так как суть частные решения однородного уравнения.

Беря это уравнение и уравнение, которое мы получим, если мы заменим в первом уравнении х на и вычтем из него второе, во втором х на и вычтем третье и т. д., и, добавив еще первое уравнение целиком, мы приходим к новой системе уравнений, полностью эквивалентной прежней:

Определителем этой системы служит

который для системы линейно независимых решений при условии как уже было выяснено выше, всегда отличен от нуля, т. е. для

Значит, эта последняя система имеет решения при всяком Решая ее, мы получим, что

где

получается из вычеркиванием последней строки и столбца.

Отсюда находим частное решение неоднородного уравнения,

Введем в сумму, выражающую новую переменную суммирования и подставим выражения в выражение для Тогда мы получаем окончательный вид частного решения