3. Основные теоремы о представлении функций общим интерполяционным рядом.

Теорема ). Если существует предел

и, более того, ряд 2 сходится, а аналитическая функция регулярна в круге радиуса с центром в точке х, внутри которого лежат все точки то функция представляется рядом

равномерно сходящимся во всяком круге, внутреннем по отношению к кругу

Доказательство. Пусть — радиус круга с центром в точке и пусть внутри этого круга лежат все точки Пусть также сколь угодно мало. В силу существования

предела (93) и сходимости ряда можно найти такое что при

Из третьего представления разделенной разности

где Г есть окружность при следует теперь неравенство

где не зависит от

Рассмотрим ряд

Неравенства (92) в нашем случае дают

«ели только не выходит за пределы круга

Из неравенств (96) и (98) непосредственно следует неравенство

при — другими словами, равномерная сходимость ряда (97), если не выходит за пределы круга — Так как равномерно сходящийся ряд аналитических функций можно любое число раз интегрировать по любым конечным путям, не выходящим из области равномерной сходимости, то из равномерной сходимости ряда (97) следует непосредственно и равномерная сходимость ряда

в круге Значит, будет аналитической регулярной функцией в круге при любом Докажем теперь, что

Рассмотрим величину

где определено равенствами (68).

Воспользовавшись оценкой (91), мы будем иметь неравенство

Далее, так как есть максимум где С не выходит за пределы наименьшей области, содержащей и все то при условии, что силу неравенств (95) имеем неравенство

где Г есть окружность а М не зависит от по-прежнему удовлетворяет условиям где имеет прежний смысл.

Теперь из неравенств (101) и (102), принимая во внимание, что и мы получаем, что при

где М опять не зависит от

Но можно взять сколь угодно малым, в частности, таким, чтобы выполнялось неравенство е. Выбрав таким образом и найдя соответствующее этому число мы получаем неравенство

Неравенство (104) показывает, что равномерно стремится к нулю с ростом при Отсюда следует, что

Из того, что производные функций совпадают, следует, что где многочлен степени не выше Но разделенные разности функций одинаковы, так как разделенная разность для многочлена равна нулю при и единице при Значит, для многочлена все разделенные разности при Отсюда следует, что Таким образом наша теорема полностью доказана.

Пусть теперь — целая функция, а точки уходят в бесконечность, когда стремится к бесконечности. В этом случае как бы медленно ни стремились к бесконечности числа всегда можно построить целую функцию для которой все коэффициенты ряда (94) будут нулями, другими словами, ряд (94) не может сходиться к функции ни в какой сколь угодно малой области.

Докажем это утверждение для частного случая обобщенного ряда Абеля — Гончарова, когда . В этом случае ряд (94) будет иметь вид

Зададим произвольную последовательность положительных чисел

и построим целую функцию

где числа выбраны так, чтобы произведение в правой части сходилось равномерно в любом конечном круге. Это, очевидно, можно сделать в силу условий Эта функция будет действительной при действительных значениях и по теореме Ролля в каждом интервале будет хотя бы один нуль производной который мы обозначим Совершенно так же в каждом интервале будет нуль который мы обозначим Вообще, продолжая этот процесс, мы можем утверждать, что между каждыми двумя

нулями находится хотя бы один нуль следующей производной, нашей функции Положим теперь Тогда, очевидно, имеют место неравенства Отсюда следует, что

Но по способу выбора мы будем иметь, что Итак, ряд (105) не может сходиться к функции ни в какой области и даже ни для какой последовательности точек, имеющей предельную точку на конечной части плоско так как в этом случае должна была бы быть тождественным нулем. Произвольная медленность роста гарантируется произвольностью выбора

Положим теперь

и введем в рассмотрение функцию которая определяется условиями

Эта функция будет монотонно не убывающей кусочно-постоянной функцией, растущей неограниченно, если стремится к бесконечности с ростом

Теорема II. Обозначим через максимум модуля целой функции другими словами, пусть

Если для этой функции выполнены условия

где определяется условиями (106), какое-либо фиксированное действительное число то представляется

обобщенным интерполяционным рядом

равномерно сходящимся к в любом круге конечного радиуса [ определяются равенством (65)].

Величина по-прежнему определяется здесь соотношениями

Доказательство. Рассмотрим поведение Пусть не выходит за пределы круга Тогда в силу неравенства (98) мы можем написать оценку

Область есть наименьшая выпуклая область, содержащая область изменения и все точки Так как есть диаметр наименьшего круга, содержащего точки то совершенно очевидно, что область не выйдет за пределы круга с центром в начале и радиусом Выберем теперь число удовлетворяющее условиям что можно сделать, так как Тогда, положив мы можем оценить величину так как

где Г есть окружность Это неравенство дает возможность оценить величину воспользовавшись тем, что модуль интеграла не превышает максимума модуля подынтегральной функции, умноженного на длину пути интегрирования. Мы получаем, таким образом, неравенство

Из неравенств (111) и (112) мы непосредственно получаем

оценку при

так как при и поэтому

а по определению меньше или равно

Неравенство (113), в силу того что и доказывает равномерную сходимость ряда (109) в любом конечном круге.

В условиях этой теоремы величину 0 мы предполагали меньшей половины. Это предположение существенно. Для частного случая И. И. Ибрагимов показал, что всегда можно подобрать такую целую функцию и точки так, чтобы при ряд (109) был расходящимся, несмотря на выполнение условия .