4. Другая форма остаточного члена формулы Эйлера.

Теперь мы дадим преобразование остаточного члена для вывода формулы Стирлинга.

Предположим, что суммируемая функция такова, что имеют одинаковые знаки при изменении х от до и любом k. В этом случае можно для остаточного члена формулы Эйлера дать следующее выражение:

где

В самом деле, разобьем интеграл левой части написанного равенства на два следующим образом:

и вычислим второй интеграл непосредственным интегрированием. Тогда получим

Первый же интеграл суммы (74) проинтегрируем два раза по частям:

потому что

и

Интегрируя по частям еще один раз, получим

Итак, окончательно

Уже ранее было доказано, что многочлены

и

имеют разные знаки. Так как по предположению имеют одинаковые знаки (в промежутке суммирования), то интегралы в левой и правой частях соотношения (75) имеют разные знаки, или, иначе, знак интеграла

одинаков со знаком выражения

а по абсолютной величине этот интеграл, очевидно, меньше последнего выражения, поэтому

Предположим теперь, что рассматриваемая функция такова, что все ее четные производные сохраняют один знак для всех значений и что

для любого Рассмотрим функцию от х, определенную равенством

Нетрудно видеть, что предел в правой части написанного соотношения существует; в самом деле, на основании (76) имеем

и так как по предположению

то

и, кроме того, допредельное выражение является монотонной функцией так как не меняет знака. Функция обладает, как нетрудно видеть, тем свойством, что разность

дает остаточный член формулы Эйлера

Введем еще в рассмотрение функцию]

тогда формулу Эйлера мы сможем переписать так:

Заменим в написанной сумме через и будем считать переменным, а постоянным; тогда

или

где

Покажем, что число С не зависит от если на функцию наложены те ограничения, о которых говорилось выше. Заменим для этого в соотношении на Получим

С другой стороны, соотношение (77) имеет место для любого Раз левые части равенств (77) и (78) равны, то должны быть равны и правые; это дает

или

Это равенство справедливо для любого . В частности, заставляя стремиться к бесконечности и замечая, что по условию при этом производные стремятся к нулю, получим

Это показывает, что формулу Эйлера для функций имеющих при монотонно убывающие производные порядка , можно писать так: