4. Решение неоднородного линейного уравнения.
Переходя к уравнениям с правой частью, можно для их решения воспользоваться методом вариации произвольных постоянных, но в простейших случаях частные решения их можно подбирать непосредственно, исходя из вида правой части.
Например, обозначив правую часть уравнения с постоянными коэффициентами через
предположим, что
— многочлен степени
Допустим, что нуль есть
-кратный корень характеристического уравнения. Тогда частное решение нужно искать в форме
и, подставив в уравнение
найти неопределенные коэффициенты
Более общо, если
где
— многочлен
степени,
-кратный корень характеристического уравнения
то решение нужно искать в форме
и, подставив
в наше уравнение, определить коэффициенты
сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х Если, наконец, правая часть состоит из сумм выражений вида
ранее разобранного, то надо искать частное решение для каждого члена суммы в отдельности.