5. Некоторые свойства выпуклых областей. Опорная функция выпуклой области.

Будем называть выпуклой областью всякое ограниченное и замкнутое точечное множество на плоскости, содержащее вместе со всякими двумя точками и точки прямолинейного отрезка, их соединяющего. Мы будем считать выпуклыми областями и одну точку или отрезок конечной длины. Очевидно, что если какая-нибудь точка прямолинейного отрезка, целиком принадлежащего области, не являющаяся ни одним из его концов, будет точкой границы выпуклой области, то и весь отрезок является частью границы этой выпуклой области.

Пусть будут выпуклые области, лежащие в плоскости комплексного переменного Тогда, как легко убедиться, сумма этих двух областей определяемая как множество точек, имеющих аффиксами комплексные числа где — аффиксы любых двух точек, принадлежащих соответственно областям будет также выпуклой областью. Пересечение, иначе говоря, общая часть, любого количества выпуклых областей будет также выпуклой областью. Пересечение всех выпуклых областей, содержащих некоторое ограниченное точечное множество, мы будем называть выпуклой областью множества. Легко видеть, что подобным образом мы определим наименьшую и при том единственную выпуклую область, содержащую данное множество.

Наряду с выпуклыми областями, определенными выше, мы будем рассматривать и бесконечные выпуклые области, которые можно определить как неограниченные замкнутые множества, со держащие вместе с двумя точками и соединяющий их отрезок. Если бесконечная выпуклая область содержит бесконечную прямую, то ее граница должна состоять из двух параллельных прямых. Действительно, если мы возьмем точку границы любой выпуклой области, то через эту точку всегда можно провести по крайней мере одну прямую, такую, что все точки области находятся по одну сторону этой прямой. Поэтому, если мы возьмем точку границы бесконечной выпуклой области, содержащей бесконечную прямую, и через эту точку проведем прямую так, чтобы все точки области лежали по одну ее сторону, то эта прямая должна будет проходить параллельно прямой, принадлежащей области. Отсюда уже непосредственно следует наше утверждение. Примеры бесконечных выпуклых областей: полуплоскость полоса , часть плоскости, содержащая положительную часть действительной оси и ограниченная гиперболой

Введем понятие опорной функции выпуклой конечной или бесконечной области. Пусть есть точка конечной или бесконечной выпуклой области Тогда — длина (с соответствующим знаком) отрезкалуча, идущего из начала под углом , считая от начала до основания перпендикуляра, опущенного из точки на этот луч, — будет

Определим опорную функцию области для каждого как

итак, для всякой точки имеем

Если — конечная выпуклая область, то К (9) удовлетворяет некоторому функциональному неравенству, которое по аналогии с условиями выпуклости назовем условием тригонометрической выпуклости К (9). Действительно, если будет опорной функцией конечной выпуклой области и аргументы будут подчинены неравенствам

то, взяв таким, что мы будем иметь систему неравенств:

из которой, умножая первое неравенство на

второе на

и третье на

мы получим после сложения нужное нам неравенство, которому подчиняется

Можно показать, что если периодическая функция 9 с периодом и подчиняется этому последнему неравенству, то является опорной функцией некоторой выпуклой области. Неравенство (35), как легко убедиться, остается в силе и для опорной функции бесконечной выпуклой области, если лежат в интервале непрерывности

Пусть будет конечная или бесконечная выпуклая область в плоскости переменного Взяв в этой плоскости луч идущий из начала, и опуская на него перпендикуляры из точек, принадлежащих области мы можем фиксировать на этом луче наиболее удаленную от начала точку являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей Если при данном положительна, то лежит на нашем луче, если же отрицательна, то лежит на луче

Для конечной выпуклой области также всегда конечна, для бесконечной она неограниченна. Совокупность точек в том случае, когда область содержит начало, и, значит, всегда положительна, мы будем называть опорной кривой выпуклой области. В случае конечности области содержащей начало, кривая в полярных координатах будет замкнутой кривой конечной длины. В случае же бесконечной области опорная кривая последней будет определена лишь для некоторых значений . Для других же значений, при которых она не определена, мы будем считать ее радиус-вектор равным бесконечности.

Примеры опбрных функций выпуклых областей: опорная функция точки есть ; опорная функция отрезка от точки до точки есть

опорная функция области есть опорная функция полуполосы, ограниченной прямыми есть

Опорная функция бесконечной области уесть

Легко видеть, что опорная кривая выпуклой области содержащей начало, может быть рассматриваема как огибающая семейства кругов, диаметрами которых будут отрезки, соединяющие начало с точками границы области Обратно, если кривая есть опорная функция выпуклой области содержащей начало, то граница области будет огибающей семейства прямых, перпендикулярных к радиусам-векторам кривой и проходящих через концы этих радиусов-векторов.

Докажем теперь две теоремы, нужные нам в дальнейшем.

Теорема I. Если — конечная или бесконечная выпуклая область, — ее опорная функция, — конечная выпуклая область, лежащая строго внутри с опорной функцией

Доказательство. Пусть — наша область и пусть точка лежит внутри Возьмем выпуклую область представляющую совокупность точек где пробегает все точки области Тогда всюду, где конечна, , где — опорная функция опорная функция

Действительно, если содержит то можно выбрать так, чтобы а тогда

Следовательно, для тех , для которых Н (9) конечна. Но для остальных неравенство тем более справедливо, так как всюду конечна.

Если же точка не лежит внутри то мы получим утверждение теоремы, проведя те же рассуждения относительно точки лежащей внутри так как

Теорема I. Если для всех значений где опорная функция выпуклой области опорная функция выпуклой области то область содержит область причем все точки последней являются внутренними точками области

Доказательство. Допустив существование хотя бы одной точки принадлежащей области и лежащей вне или на границе мы можем провести через эту точку такую прямую, что все точки будут находиться по одну ее сторону. Беря луч перпендикулярный к этой прямой, мы получим, что

что . А это находится в противоречии с предположением теоремы.