§ 2. Многочлены Чебышева

Теперь мы займемся исследованием величины остаточного члена с точки зрения возможности его уменьшения. Обозначая интерполяционный многочлен в формуле Лагранжа по-прежнему через Р (я):

в формуле Ньютона

мы получаем разность между неизвестной нам функцией и интерполирующим ее многочленом в следующем виде:

откуда

где

Предполагая, что в интервале функция вместе со своими производными до порядка включительно остается ограниченной, мы можем поставить вопрос о том, какими способами можно строить многочлен наиболее точно приближающий на интервале Иначе говоря, мы займемся вопросом, какими приемами можно уменьшить величину модуля остаточного члена в соотношении (21).

Вполне естественно, что мы можем добиваться все лучших приближений прежде всего тем, что будем брать большее число точек интерполяции Чем больше тем, вообще говоря, меньше в рассматриваемом интервале.

Уменьшение может быть произведено не только за счет увеличения числа точек интерполяции, но и за счет их выбора. Даже беглое рассмотрение этого вопроса подтверждает указанное обстоятельство. В самом деле, предположим, что точки интерполяции на рассматриваемом интервале сконцентрированы в каком-нибудь одном месте этого интервала; тогда абсолютная величина многочлена (а следовательно, и величина ) для х, сильно отклоняющегося от точек интерполяции, может сильно возрасти по абсолютной величине, потому что значения многочлена мы будем брать далеко от его корней. Это простое рассуждение показывает, что для лучшего

приближения мы должны расположить точки интерполяции в каком-то смысле равномерно на интервале

Пусть число точек интерполяции фиксировано. Попытаемся подобрать точки интерполяции так, чтобы разность была наименьшей на рассматриваемом интервале — иначе, чтобы максимум на интервале был наименьшим.

Учесть изменение в формуле (21) в связи с изменением точек интерполяции мы, очевидно, не можем, ибо хотя на неизвестную функцию мы и наложили ограничения, но они имеют весьма общий характер. Поэтому задача сводится к нахождению из всех многочленов (коэффициент при х в наивысшей степени равен единице, все корни действительны и различны), такого, который на интервале имел бы возможно меньшие значения по модулю. Как говорят, нужно найти многочпен, «наименее отклоняющийся от нуля» на рассматриваемом интервале.

Для удобства дальнейших рассуждений мы изменим число нулей многочлена, именно мы предположим, что искомый многочлен имеет нулей, которые мы обозначим через Кроме того, допустим, что заданным интервалом является интервал Ниже будет показано, что это второе предположение не нарушает общности постановки и решения задачи о нахождении многочлена, наименее отклоняющегося от нуля на данном интервале. Итак, допустим, что искомый многочлен имеет вид

Этот многочлен мы должны выбрать так, чтобы его максимум на замкнутом интервале был наименьшим.

Для решения этой задачи нужно либо найти нули которые мы предполагаем неизвестными, либо дать для явное выражение в виде

Поставленная задача была решена великим русским математиком П. Л. Чебышевым, причем им было получено явное выражение для многочлена наименее отклоняющегося от нуля на интервале :

Выражение (23) является, очевидно, многочленом от х. В самом деле, если мы возведем в степень первую и вторую скобки, то радикалы будут входить во все четные члены, причем в первой скобке с плюсом, а во второй — с минусом. При сложении все четные члены пропадут, и останутся только целые степени х.

Таким образом, функция определенная соотношением действительно многочлен. Отметим также, что это многочлен степени с коэффициентом при равным единице.

Для доказательства этого положения заметим, что старший коэффициент всякого многочлена степени можно определить так:

Поэтому для определения коэффициента (и степени) многочлена, изображаемого правой частью соотношения (23), составим отношение

и найдем предел этого отношения, когда Очевидно, получим

откуда

Итак, многочлен удовлетворяет требованиям поставленной задачи: это многочлен степени с коэффициентом при равным единице.

Покажем теперь, что все нули многочлена (который будем называть многочленом Чебышева) действительны и различны. С этой целью введем в соотношение (23) вместо х переменное

тогда многочлен преобразуется к следующему виду:

или, так как

к виду

Замечая, что многочлену Чебышева можно придать следующий вид:

Соотношение (25) позволяет легко определить нули и экстремумы многочлена Чебышева.

Преобразование (24) интервал изменения х преобразует (притом взаимно однозначно и непрерывно) в интервал изменения поэтому, если мы найдем нули и экстремумы многочлена для значений не выходящих из интервала то вместе с тем соотношение (24) определит значения х, для которых многочлен Чебышева обращается в нуль или принимает экстремальные значения. Из соотношения (25) видно, что для всякого удовлетворяющего уравнению

из написанного уравнения мы должны выбрать решения на интервале Итак, получаем решения уравнения (27), соответствующие нулям в виде

Значения х, соответствующие найденным значениям получим из соотношения (24):

Так как в интервале косинус изменяется монотонно (убывает), то все найденные корни многочлена будут различны (и, очевидно, действительны).

Геометрически нули при заданном можно построить так: разделив два первых квадранта полуокружности, опирающейся на интервал , как на диаметр, на равных частей, проектировать на этот интервал все четные точки деления (считая от конца интервала +1 к концу -1). Проекции и будут геометрически соответствовать точкам Таким образом, расположение нулей многочлена Чебышева есть гармоническое — иначе, распределение их таково, что оно соответствует равномерному расположению точек на окружности.

Теперь исследуем экстремумы многочлена Соотношение (25) указывает, что проходит через экстремумы одновременно с Обозначая через точки интервала в которых (следовательно, и многочлен Чебышева) проходит через экстремум, найдем

Значения мы берем от 0 до потому что при этом не выходит из интервала

Геометрически точки могут быть построены аналогично точкам Это будут точки, равномерно расположенные на окружности, построенной указанным способом. При этом будут нечетными точками деления (опять считая справа налево). Проекции на интервал дадут соответствующие им значения которые обозначим через Значения определяются равенством (24):

Значения в точках найдутся по формуле (25):

или

При четном проходит через максимум, равный при нечетном проходит через минимум, равный Таким образом, отклонение от нуля на интервале не превышает величины иначе

Итак, форма и свойства кривой, изображаемой многочленом Чебышева, нами получены.

Покажем теперь, что многочлен Чебышева является многочленом, наименее отклоняющимся от нуля. Для этого допустим, что мы имеем многочлен и степени вида

такой, что

Покажем, что тогда и и многочлен Чебышева будут между собой тождественно равны. Для доказательства рассмотрим разность

Ясно, что есть многочлен степени не выше Если мы обнаружим, что на некотором интервале этот многочлен имеет

нулей, то мы докажем, что он равен нулю при всех , следовательно, докажем тождество

Рассмотрим значения в тех точках в которых многочлен Чебышева принимает экстремальные значения

или

Так как по предположению на интервале то знак будет определяться следующим образом: если четное, то будет неотрицательно, если нечетное, то неположительно. Мы можем поэтому положить

где

Выберем из чисел с и такие, которые строго больше нуля; обозначим их через где может принимать значения от 1 до некоторого числа меньшего или равного :

[Заметим, что можно считать ибо если все или все без одного равны нулю, то число нулей на интервале будет больше , а это и значит, что равен нулю тождественно.]

Соответствующие значения х, для которых не равны нулю, обозначим через Итак,

Рассмотрим точки

Если то точка совпадает с левым концом интервала если то точка совпадает с правым концом того же интервала.

Рассмотрим теперь какой-нибудь интервал Подсчитаем число нулей функции в этом интервале. На основании условия выбора точек следует, что функция в рассматриваемом интервале должна иметь нулей по крайней мере

Покажем, что кроме этих нулей непременно существует еще один. Условимся обозначать через единицу, взятую со знаком некоторого числа А. Тогда ясно [см. равенства (с) и (d)], что

Пусть числа одной четности, тогда знаки на концах интервала будут одинаковы, а это значит, что в данном интервале должна обращаться в нуль четное число раз. Число тривиальных нулей при условии одинаковой четности чисел будет, очевидно, нечетным.

Итак, установлено наличие нечетного числа нулей функции в интервале и доказано, что их число должно быть четным; значит, в рассматриваемом интервале должен быть прибавлен по крайней мере еще один нуль к числу найденных.

Предположим, что числа — разной четности, тогда знаки функции на концах интервала разные, и значит, внутри этого интервала должно лежать нечетное число нулей функции . С другой стороны, число тривиальных нулей функции останется тем, каким оно было установлено выше» т. е. Это число при условии, что числа различной четности, будет четным.

Итак, мы нашли в интервале четное число нулей и доказали, что полное число нулей в этом интервале должно быть нечетным; значит, там должен быть по крайней мере еще один нуль функции

Функция имеет, таким образом, во всяком интервале вида

не менее чем нулей.

После этих предварительных соображений перейдем к подсчету нулей функции на всем интервале Если то счет нулей начнется с интервала и затруднений не представит. Количество их выразится числом Если обращается в нуль для то встает еще вопрос о подсчете нулей в интервале

Очевидно, что число самих тривиальных нулей в рассматриваемом интервале будет

Обратимся также к рассмотрению последнего интервала

Если то число нулей в этом интервале будет по доказанному Если же то число самих тривиальных нулей в интервале будет Сделанные замечания о концах интервала и доказанное положение о количестве нулей внутри всякого интервала вида позволяют написать общее количество нулей функции на всем интервале :

Итак, имеет не менее нулей на интервале и, следовательно, тождественно равна нулю.

Утверждение доказано: многочлена, отклоняющегося от нуля менее, чем многочлен Чебышева, не существует.

Решим поставленную задачу о многочлене, наименее отклоняющемся от нуля, на интервале т. е. найдем из всех многочленов (22) такой, который на интервале наименее отклонялся бы от нуля. С этой целью введем вместо х переменное х, связанное со старым переменным х следующим соотношением:

Ясно, что при при т. е. указанная замена преобразует интервал изменения х в интервал изменения х.

Многочленом от х, наименее отклоняющимся от нуля на интервале , будет

Заменяя х через х, из соотношения (33) получим многочлен относительно

Коэффициентом при этого многочлена, как показывает соотношение (9), будет число, равное Поэтому многочлен

будет иметь старшим коэффициентом единицу. Нетрудно показать, что многочлен наименее отклоняется от нуля на интервале . В самом деле, допустим, что существует многочлен и степени с коэффициентом при равным единице, удовлетворяющий условию

Рассматривая тогда многочлены

на интервале мы должны будем заключить, что

Многочлен есть многочлен Чебышева, как это следует из соотношения (34), поэтому

а следовательно,

это показывает, что на интервале в самом деле наименее отклоняется от нуля.

Проведенное уже исследование многочлена Чебышева для интервала легко позволяет перенести результат этого исследования на многочлен построенный для интервала Нули многочлена будут расположены в точках

Экстремумы многочлена будут расположены в точках

Величины экстремумов, т. е. значения в точках

так что

То исследование, которое мы провели, носит скорее теоретический характер, чем практический. Улучшение точности результата, вносимое только что рассмотренным распределением точек интерполяции, не компенсирует той вычислительной работы, которую пришлось бы проделать, подсчитывая абсциссы точек, в которых пришлось бы измерять значения, интерполируемой функции На практике гораздо проще бывает распределить точки интерполяции на рассматриваемом интервале через равные промежутки.

Симметрия и упрощение формул, которые получаются при равномерном распределении точек интерполяции, делают этот случай интересным как с теоретической, так и с практической стороны.