2. Дальнейшие свойства чисел Бернулли.

Будем по-прежнему исходить из соотношения

Докажем во-первых, что все нечетные числа Бернулли, исключая равны нулю; в самом деле, заменим в этом соотношении на от этого оно не нарушится. Тогда получим

С другой стороны,

поэтому имеем тождественно

Коэффициенты при в одинаковых степенях должны быть равны, а потому (для получим

Для четного это соотношение тривиально; при нечетном оно обращается в следующее:

откуда

Выведем теперь одно замечательное свойство бернуллиевых чисел, именно покажем, что сумма бесконечного ряда из четных отрицательных степеней чисел натурального ряда весьма просто выражается через бернуллиевы числа.

Это положение мы докажем, опираясь на теоретико-функциональные теоремы. Как известно, функция — может быть разложена в бесконечное произведение:

Это произведение сходится в любой конечной части плоскости комплексного переменного х, притом равномерно в круге любого сколь угодно большого радиуса, ибо ряд сходится для любого конечного х. Логарифмируя тождество (28), получим

Вновь полученный ряд сходится для всех значений х, исключая точки . В любой замкнутой области, не содержащей этих точек, он сходится равномерно. На основании теоремы Вейерштрасса о возможности почленного дифференцирования равномерно сходящегося ряда аналитических функций найдем

откуда

Функцию можно разложить в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по степеням х в круге радиуса ибо каждая такая функция регулярна в этом круге.

Производя это разложение, найдем

Меняя порядок суммирования, что возможно в силу абсолютной сходимости двойного ряда в единичном круге, получим

Для установления связи ряда

с числами Бернулли преобразуем левую часть полученного соотношения. Замечая, что

найдем

Полагая

получим

или

В написанной сумме суммирование распространится только на четные степени потому что единственная нечетная степень в первой степени уничтожится с Выделяя единицу и заменяя индекс суммирования через [для соответствия с разложением (29)], найдем

или так как

то

Сравнивая коэффициенты при в разложении (29) и (30), получаем

откуда окончательно

Формула (31) позволяет установить еще некоторые свойства чисел Бернулли; ясно, что левая часть всегда положительна; значит, положительна также и правая часть. Множители в правой части, которые могут быть отрицательными, следующие:

значит, их произведение всегда положительно. Это замечание показывает, что

При четном при нечетном т. е.

Формула (31) также подтверждает, что все четные числа Бернулли отличны от нуля. Из соотношения (31) также просто выясняется порядок роста бернуллиевых чисел. Замечая, что

заключаем, что порядок роста одинаков с ростом функций

иначе

Наконец, формула (31) выясняет характер иррациональности чисел, изображаемых рядами

именно иррациональность в соотношении (31) представлена только множителем Это показывает, что сумма (36) есть число трансцендентное (выражающееся через четные степени . Соотношение (31) можно также разрешить относительно числа Произведя это, получим