§ 3. Формула Ньютона для равноотстоящих значений независимого переменного

1. Первый вывод формулы Ньютона.

Допустим, что абсциссы точек интерполяции имеют следующий вид:

Рассмотрим, как преобразуется при этом интерполирующий многочлен в формуле Ньютона:

Найдем последовательные разности функции Очевидно, имеем

Вообще, предполагая справедливость формулы

нетрудно показать, что

В самом деле, предполагая справедливость формулы (35) для найдем

Разобьем написанные суммы на три отдельных выражения, соответствующие изменению индекса тогда получим

Так как

то

и справедливость формулы (35) доказана для

Преобразуем теперь в интерполирующем многочлене выражение разделенной разности, предполагая, что

Возьмем для этого выражение разделенной разности в виде формулы (7):

Так как то для всех и меньших или равных Заменяя разности их выражениями через получим

или

Так как

то окончательно выражение для разделенной разности принимает следующий вид:

Формула (35) позволяет представить в следующем наиболее простом виде:

Интерполирующий многочлен будет

Полагая получаем формулу