§ 3. Формула Ньютона для равноотстоящих значений независимого переменного
1. Первый вывод формулы Ньютона.
Допустим, что абсциссы точек интерполяции
имеют следующий вид:
Рассмотрим, как преобразуется при этом интерполирующий многочлен
в формуле Ньютона:
Найдем последовательные разности функции
Очевидно, имеем
Вообще, предполагая справедливость формулы
нетрудно показать, что
В самом деле, предполагая справедливость формулы (35) для
найдем
Разобьем написанные суммы на три отдельных выражения, соответствующие изменению индекса
тогда получим
Так как
то
и справедливость формулы (35) доказана для
Преобразуем теперь в интерполирующем многочлене
выражение
разделенной разности, предполагая, что
Возьмем для этого выражение
разделенной разности в виде формулы (7):
Так как
то
для всех
и
меньших или равных
Заменяя разности
их выражениями через
получим
или
Так как
то окончательно выражение для
разделенной разности принимает следующий вид:
Формула (35) позволяет представить
в следующем наиболее простом виде:
Интерполирующий многочлен
будет
Полагая
получаем формулу