4. Постановка общей задачи определения целой функции по заданным элементам.

Все рассмотренные нами в этом параграфе задачи можно рассматривать как частные случаи одной задачи, задачи определения функции по заданным элементам.

Назовем элементом целой функции линейный функционал где — заданная бесконечная матрица. Тогда задача заключается в следующем: — элементы целой функции — заданы построить

Как нетрудно убедиться, эта формулировка содержит все задачи, поставленные выше.

Приведенные примеры решения задач на определение целых функций с заданными элементами показывают, что решение этих задач имеет сходство с решением краевых задач в теории дифференциальных уравнений. С каждой такой задачей в широком классе случаев связана система собственных функций. Например, для задачи определения целой функции с заданными значениями в точках собственными функциями служат функции

где имеет нули только в точках Для задачи определения целой функции с заданными значениями последовательных

производных в точках собственными функциями служат Общее решение такой задачи состоит в определении одного частного решения и всех ее собственных функций. Еще одним примером того же рода может служить задача определения всех целых функций с заданными значениями

где фиксировано,

Собственными функциями этой задачи, подробного решения который мы приводить не будем, будут функции где

числа пробегают всю совокупность корней уравнения принимает значения от нуля до величины кратности корня, уменьшенной на единицу (если у этого уравнения есть кратные корни).