§ 4. Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами и некоторые интерполяционные задачи, приводящиеся к решению подобных уравнений

1. Общие теоремы.

Здесь мы займемся линейными дифференциальными уравнениями бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, т. е. функциональными уравнениями вида

где заданная целая функция не выше первого порядка и нормального типа, — регулярная в начале функция, — постоянные числа и искомая функция.

Если регулярна в некоторой области содержащей начало внутри, и в области нет ни одного нуля функции то, допустив, что все особенности регулярной в бесконечности функции ассоциированной по Борелю с находятся внутри мы можем доказать существование единственного решения дифференциального уравнения (115), обладающего тем свойством, что все особенности ассоциированной по Борелю с лежат внутри Если область выпукла, то из этого утверждения следует, что уравнение (115) будет иметь единственное решение в том случае, если мы допустим, что выполнено неравенство где — опорная функция области — индикатриса

Докажем теорему, дающую решение уравнения (115) в виде ряда многочленов.

Теорема VIII. Если все особенности находятся внутри обмети в которой регулярна и не имеет нулей, то существует единственное решение уравнения (115), обладающее тем свойством, что все особенности находятся внутри причем разность

будет регулярной внутри функцией и представляется рядом многочленов, равномерно сходящимся во всякой конечной части плоскости z:

где отображает конформно область на круг замкнутый контур, лежащий в области и содержащий внутри себя все особенности функции Кроме того, существуют числа такие, что для бесчисленного множества

где не зависит от .

Если область D выпукла, то условие, что все особые точки функции находятся внутри области можно заменить неравенством где — индикатриса — опорная функция выпуклой области

Доказательство. Если все особенности функции находятся внутри то уравнение (115) может быть переписано в форме

где С — замкнутый контур, находящийся в области и содержащий внутри себя все особенности функций Так как уравнение (119) должно иметь место при всех то при наших предположениях относительно и из него сразу следует, что разность — должна быть регулярна в области

Полагая в равенствах (60), (61) и (62) § 3 и считая, что функция конформно отображает область на круг мы получим

где есть точка замкнутого контура лежащего внутри области содержащего все особенности функции внутри и переходящего при отображении с помощью функции внутрь круга а контур соответствует окружности при отображении

Равенство (120) можно переписать также в форме

Умножая обе части равенства (121) на интегрируя по контуру в плоскости и пользуясь регулярностью разности в области мы легко получим, что

Так как

где от не зависит, то представление даваемое равенством (117) теоремы VIII, нами доказано, причем доказано также, что ряд (117) сходится как геометрическая прогрессия. Неравенство (118) теоремы VIII доказывается непосредственно на основании теоремы Фабера, причем доказательство ничем не отличается от доказательства неравенства (58) теоремы IV § 2.

Не внося в доказательство теоремы VIII никаких существенных изменений, можно доказать теорему VIII, являющуюся дополнением к теореме VIII.

Теорема VIII. Если выполнены, все условия теоремы VIII, то функция представляется рядом многочленов

2. Заданы числа ...

Для решения этой интерполяционной задачи введем в рассмотрение функции

связанные соотношениями

Нули целой функции будут находиться в точках

Рассмотрим представление функции

где С — любой замкнутый контур, содержащий внутри себя точку например окружность

Представление (128) имеет место, так как

Из этого представления мы получим, умножая обе его части на функцию ассоциированную по Борелю с целой функцией не выше первого порядка нормального типа и интегрируя по любому замкнутому контуру в плоскости содержащему внутри себя все особенности функции что

представляется рядом, коэффициенты которого непосредственно определяются с помощью чисел

Действительно, с помощью формулы (126) мы пожем получить, предполагая что

Для этого умножим обе части равенства

на и проинтегрируем по контуру в плоскости что возможно, так как в правой части стоит равномерно сходящийся функциональный ряд. Но так как

то мы и получим равенство (130).

Так как по предположению — функция не выше первого порядка и нормального типа, то из представления следует, что и должна быть функцией не выше первого порядка и нормального типа.

Функция может быть представлена также рядом Тейлора:

Значит, ассоциированная по Борелю с регулярная в бесконечности функция имеет вид

Пусть С — любой замкнутый контур, содержащий внутри все особенности функций Тогда будем иметь

или

откуда следует, что разность будет целой функцией С, т. е. что может иметь особенности только в тех точках, которые будут особыми для Во всякой области где не имеет нулей, особенности должны совпадать.

Мы можем дать теперь общее решение поставленной ранее интерполяционной задачи.

Теорема. Если — целая функция не выше первого порядка нормального типа а и заданы числа

то эти числа полностью определяют в том и только в том

случае, когда все особенности функции ассоциированной по Борелю с находятся в односвязной области симметричной относительно действительной оси, в которой нет нулей функции

может быть представлена равномерно сходящимся в любой конечной части плоскости рядом

или рядом

где С есть замкнутый односвязный контур, содержащий все особенности внутри и находящийся внутри области функция конформно отображает область в плоскости на круг в плоскости ассоциирована с определяющейся формулами (130) и (132) и строящейся непосредственно с помощью чисел

Когда область выпукла, то представления (137) и (138 функции будут иметь место, если выполнено неравенство , где — индикатриса — опорная функция области

Доказательство. Вспомним, что всякая точка, правильная для будет правильной для Функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению бесконечного порядка с постоянными коэффициентами:

откуда и следуют на основании теорем VIII и VIII представления (137) и (138) функции

Пусть в область попал нуль функции Так как область предположена симметричной относительно действительной оси, имеет нулем также и число то в области

будут лежать два нуля именно Эти нули будут иметь вид

где — любое целое положительное число, целое число, заключенное между 1 и т. е. .

Тогда целая функция будет иметь числа так как

и

Этим наша теорема доказана полностью.

Рассмотрим частные случаи областей Заметим прежде всего, что не имеет нулей внутри круга

Тогда если только представляется на основании доказанной нами теоремы при рядом

или после легких преобразований рядом

Функция не имеет также нулей внутри бесконечной выпуклой области ограниченной кривой, имеющей в полярных координатах уравнение

Область в плоскости С конформно отображается на круг в плоскости с помощью функции

Значит, представляется при выполнении неравенств где — опорная функция области даваемая соотношениями (99) § 4, рядом многочленов

3. Заданы числа ...

Пусть — целая функция не выше первого порядка нормального типа, — ее индикатриса, — функция, ассоциированная по Борелю с Для решения этой интерполяционной задачи рассмотрим функцию

причем

Совершенно так же, как в предыдущей задаче, мы определяем целую функцию

где — замкнутые контуры, причем содержит внутри себя все особенности есть окружность откуда

или

Тогда

Функции регулярные в бесконечности, связаны соотношением

где С — замкнутый контур, лежащий внутри области в которой нет нулей функции до и которая содержит внутри себя все особенности причем всякая регулярная точка естественно, будет регулярной и для

Мы можем доказать теорему: если — целая функция не выше первого порядка нормального типа а и заданы числа

то эти числа полностью определяют в том и только в том случае, когда все особенности находятся в односвязной области предполагаемой симметричной относительно действительной

оси и не содержащей нулей функции

и может быть представлена равномерно сходящимися в любой конечной части плоскости рядами

где С — замкнутый контур, лежащий внутри и содержащий внутри себя все особенности функция конформно отображает область на круг в плоскости ассоциирована по Борелю с определяющейся формулами (149) и (150) и строящейся непосредственно с помощью чисел

При условии выпуклости области представления (154) и (155) будут иметь место, если выполнено неравенство где — индикатриса а — опорная функция выпуклой области

Доказательство. Так как связаны соотношением (151), то справедливость представления рядами (154) и (155) непосредственно следует из теорем VIII и VIII.

Нули функции будут находиться в точках

Все числа для функции

где - комплексно сопряженные нули будут, как легко проверить, равны нулю. Этим наша теорема полностью доказана.

Частным случаем области будет круг при четном и круг при нечетном, так как в таких кругах

не имеет нулей. Тогда если только или при соответственно четном или нечетном представляется рядом

или после легких преобразований рядомх)

Функция не имеет нулей внутри полосы — Опорная функция этой выпуклой области будет

Поэтому, если только функция представляется рядом

так как полоса — перейдет в круг с помощью функции

4. Заданы числа ...

Эта общая интерполяционная задача, частными случаями которой являются две ранее рассмотренные интерполяционные задачи, решается тем же методом, что и они.

Допуская, что функции регулярны в некоторой области содержащей начало внутри, мы строим вспомогательные функции

где число выбрано так, чтобы функция до не имела нуля в начале.

С помощью этих функций, так же как и раньше, строим функции причем должна быть связана с уравнением

Кроме того, функция непосредственно определяется с помощью чисел Решая это уравнение относительно мы получим, что общая интерполяционная задача решается единственным образом в том случае, когда все особенности функции ассоциированной по Борелю с находятся в некоторой области в которой регулярна и не имеет нулей.

В заключение отметим одно вполне осуществимое обобщение последних параграфов. Пусть задана последовательность не равных нулю чисел

Рассмотрим класс целых функций

обладающих тем свойством, что ряд

будет иметь отличный от бесконечности радиус сходимости. Если между ростом и расположением особенностей при заданной последовательности можно установить обозримую связь, то можно с помощью вышеизложенных рассмотрений решать задачу об определении целой функции по ее моментам

так как между будет иметь место связь

где С — замкнутый контур, содержащий внутри все особенности