Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами и некоторые интерполяционные задачи, приводящиеся к решению подобных уравнений1. Общие теоремы.Здесь мы займемся линейными дифференциальными уравнениями бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, т. е. функциональными уравнениями вида
где Если Докажем теорему, дающую решение уравнения (115) в виде ряда многочленов. Теорема VIII. Если все особенности
будет регулярной внутри
где
где Если область D выпукла, то условие, что все особые точки функции Доказательство. Если все особенности функции
где С — замкнутый контур, находящийся в области Полагая в равенствах (60), (61) и (62) § 3
где Равенство (120) можно переписать также в форме
Умножая обе части равенства (121) на интегрируя по контуру
Так как
где от Не внося в доказательство теоремы VIII никаких существенных изменений, можно доказать теорему VIII, являющуюся дополнением к теореме VIII. Теорема VIII. Если выполнены, все условия теоремы VIII, то функция
2. Заданы числа ...Для решения этой интерполяционной задачи введем в рассмотрение функции
связанные соотношениями
Нули целой функции
Рассмотрим представление функции
где С — любой замкнутый контур, содержащий внутри себя точку Представление (128) имеет место, так как
Из этого представления мы получим, умножая обе его части на функцию
представляется рядом, коэффициенты которого непосредственно определяются с помощью чисел
Действительно, с помощью формулы (126) мы пожем получить, предполагая
Для этого умножим обе части равенства
на
то мы и получим равенство (130). Так как Функция
Значит, ассоциированная по Борелю с
Пусть С — любой замкнутый контур, содержащий внутри все особенности функций
или
откуда следует, что разность Мы можем дать теперь общее решение поставленной ранее интерполяционной задачи. Теорема. Если
то эти числа полностью определяют случае, когда все особенности функции
или рядом
где С есть замкнутый односвязный контур, содержащий все особенности Когда область Доказательство. Вспомним, что всякая точка, правильная для
откуда и следуют на основании теорем VIII и VIII представления (137) и (138) функции Пусть в область будут лежать два нуля
где Тогда целая функция
и
Этим наша теорема доказана полностью. Рассмотрим частные случаи областей Тогда
или после легких преобразований рядом
Функция
Область
Значит,
3. Заданы числа ...Пусть
причем
Совершенно так же, как в предыдущей задаче, мы определяем целую функцию
где
или
Тогда Функции
где С — замкнутый контур, лежащий внутри области Мы можем доказать теорему: если
то эти числа полностью определяют оси и не содержащей нулей функции
и
где С — замкнутый контур, лежащий внутри При условии выпуклости области Доказательство. Так как Нули функции
Все числа
где Частным случаем области не имеет нулей. Тогда
или после легких преобразований рядомх)
Функция Поэтому, если только
так как полоса — 4. Заданы числа ...Эта общая интерполяционная задача, частными случаями которой являются две ранее рассмотренные интерполяционные задачи, решается тем же методом, что и они. Допуская, что функции
где число С помощью этих функций, так же как и раньше, строим функции
Кроме того, функция В заключение отметим одно вполне осуществимое обобщение последних параграфов. Пусть задана последовательность не равных нулю чисел Рассмотрим класс целых функций
обладающих тем свойством, что ряд
будет иметь отличный от бесконечности радиус сходимости. Если между ростом
так как между
где С — замкнутый контур, содержащий внутри все особенности
|
1 |
Оглавление
|