2. Линейные однородные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.

Попытаемся найти выражение любого решения однородного уравнения Прежде всего мы докажем, что функция , где а — корень уравнения кратности, не меньшей чем

характеристическая функция оператора удовлетворяет уравнению

Действительно,

так как — корень уравнения кратности, де меньшей чем

Докажем теперь основную теорему, показывающую полноту системы функций где а — корни уравнения а принимает все целые значения от нуля до величины на единицу меньшей кратности корня а, в классе целых функций — решений уравнения Функции являющиеся решениями уравнения (79), мы будем называть основными функциями оператора Рассмотрим отдельно случаи, когда есть функция, порядок которой не выше первого, а тип, если она имеет первый порядок, не выше нормального.

Теорема I. Если — максимум модуля целой функции и

где произвольно мало, и удовлетворяет уравнению

— нормальный оператор с характеристической функцией то

где сумма взята по всем нулям а уравнения в круге , а степень строго меньше кратности а.

Доказательство. Если ассоциирована по Борелю с то из соотношений

следует, что

Так как регулярна вне круга целая функция, имеющая в круге только конечное число нулей, а тождество (81) показывает, что должно быть целой функцией, то особенностями могут быть только полюсы в точках с кратностями, не превышающими кратностей нулей а функции Значит,

где — многочлен, кратность, ну а. Теперь уже из представления

если найти интеграл в правой части (как сумму вычетов относительно точек а, получим представление (81). Тем самым теорема доказана.

Из этой теоремы следует, в частости, что может быть только многочленом степени не выше где — кратность нуля в точке нуль функции если где 6 меньше модуля нуля наиболее близкого к началу.

Для дальнейшего исследования поставленного вопроса нам будет необходим ряд определений и вспомогательных предположений, к которым мы и переходим.

Рассмотрим случай, когда — максимум модуля целой функции — удовлетворяет условию

В этом случае в качестве характеристики роста мы будем рассматривать функцию определяя ее равенством

Функция обладает следующими свойствами: монотонно не убывает, причем равенство достигается для бесчисленного множества неограниченно растущих значений и

Кроме того, из неравенства при неограниченно растущем всегда следует неравенство

Действительно,

Функция обратная

монотонно растет, и более того, в силу свойств отношение

монотонно не убывает и неограниченно растет. Если же

то определим равенством

Отношение будет монотонно невозрастающей функцией, стремящейся к конечному пределу с ростом и функция обратная

будет монотонно возрастающей функцией. Отношение

как легко видеть, будет монотонно невозрастающей функцией, стремящейся к определенному пределу с ростом Мы определили, таким образом, любом равенствами (84), (87), (88) и (89) функции Определенными таким образом функциями мы будем пользоваться в дальнейших рассмотрениях. Функцию наравне с мы будем называть максимумом модуля функции Функция где характеристическая функция оператора растущая не скорее показательной, будет целой функцией С, растущей также не

быстрее показательной при любом Ассоциированная с ней по Борелю функция

где

заведомо будет регулярна вне круга причем при интеграл (90) при любом фиксированном будет равномерно сходиться. По отношению эта функция, как нетрудно убедиться, будет целой функцией, если

Действительно, разлагая в ряд по степеням и интегрируя этот ряд почленно (что возможно в силу абсолютной и равномерной сходимости ряда), мы получаем, что

и

будут регулярными функциями при так как где при . Найдем теперь необходимую нам в дальнейшем оценку интеграла

при и произвольном Заметив, что при любом имеет место неравенство

мы непосредственно получаем оценку

Так как при действительных будет иметь место представление

которое получается простыми заменами переменных в интегралах, то в силу теоремы единственности аналитических функций это представление будет иметь место при любых комплексных Сиг, подчиняющихся условию

сохраняющему абсолютную и равномерную сходимость последнего интеграла в равенствах (94).

Допустим, что на окружности нет нулей функции Тогда функция

будет иметь представление

где сумма взята по всем нулям а (с кратностями ) функции в круге Это представление непосредственно получится, если мы, приняв во внимание, что подынтегральная функция

интеграла (96) может иметь только полюсы в нулях в круге заменим этот интеграл суммой вычетов по всем полюсам. Функция при условии, что — целая функция,

будет вследствие (97) и регулярности вне круга каковы бы ни были иметь представление

где степень многочлена строго меньше кратности , а его коэффициенты зависят только от

Теорема II. Если целая функция с максимумом модуля есть решение уравнения

и — характеристическая функция нормального оператора то последовательность функций являющихся линейными агрегатами основных функций будет равномерно сходиться к в любом круге если на окружностях выполняются неравенства

где - произвольная постоянная. Более того, для таких будет справедливо неравенство

где не зависит от и

Следствие 1. По теореме II § 1 главы III, если то любом найдется такое в промежутке

что при этом и

где — постоянная. Для того чтобы выполнялось условие (101), достаточно взять Поэтому всегда существует последовательность функций равномерно сходящаяся к в любом конечном круге.

Следствие 2. Если все нули могущие иметь произвольные кратности, различны между собой по модулю и отделяются друг от друга окружностями, на которых имеют место неравенства (101), то ряд

где определяются равенством (99), будет равномерно сходиться в любом конечном круге к функции

Доказательство теоремы II. Установим прежде всего некоторые свойства решений уравнения Если продифференцировать раз левую часть уравнения получим

Далее, вследствие (96) и (94) при

Но при любом

вследствие соотношений (103) и возможности переставлять суммирование и интегрирование, когда

Под знаком последнего интеграла стоит делая функция Отсюда непосредственно следует тождество

так как первые два интеграла можно переставить между собой, после чего из-за соотношения (105) подынтегральная функция будет регулярной по

Воспользовавшись тождеством (106), мы получаем новое выражение для именно:

Каково бы ни было целое положительное число всегда будет

иметь место равенство

вследствие возможности переставлять первые два интеграла между собой и соотношений (103). Отсюда окончательно мы получаем основное соотношение

справедливое, если и на окружности нет нулей при любом целом 0.

Мы можем оценить по модулю разность

если воспользуемся условием (101) нашей теоремы и неравенством (93). Придем к неравенству

справедливому при любых

Положив воспользовавшись неравенством

верным при и формулой Стирлинга, мы из (111) получаем неравенство

Считая, что — радиус окружности, на которой выполняется неравенство (101), задан, выберем в зависимости от этого положив

Тогда, так как и функция — монотонно неубывающие и

и

при Значит,

при Упрощая неравенство (113), с помощью неравенства (116) придем к неравенству

другими словами, получим неравенство (102) нашей теоремы. Постоянные С, X не зависят от

В качестве примеров рассмотрим два уравнения нашего типа:

с характеристическими функциями Нули этих функций все первого порядка и попарно комплексно сопряженные, кроме одного действительного нуля При больших значе ниях модуля нули будут находиться в точках

где принимает целые положительные значения. Окружностями

пары сопряженных нулей будут отделяться друг от друга, и на этих окружностях будет выполняться, как легко подсчитать, неравенство

значит, если — решение уравнения и целая функция, то представляется равномерно сходящимся рядом

где - все нули

Функция существенно отличается от только тем, что имеет один действительный нуль, так как

Рассуждения, совершенно аналогичные предшествующим, показывают, что и решение уравнения может быть представлено соответствующим равномерно сходящимся в любом конечном круге рядом. Все эти ряды являются в некотором смысле обобщением ряда Фурье, который соответствует уравнению .

Оценка скорости сходимости функций может быть значительно уточнена и улучшена, когда о росте делаются более конкретные предположения и неравенство (102) заменяется лучшим с помощью представления остаточного члена (110).

Очень подробно и для многих случаев решения общих функциональных уравнений типа (75), когда — не обязательно функция не выше нормального типа первого порядка, исследованы в большой монографии А. Ф. Леонтьева «Ряды полиномов Дирихле и их обобщения», Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 38, 1951 г., и в работе А. О. Гельфонда и А, Ф. Леонтьева «Об одном обобщении ряда Фурье», Матем. сб.

29 (71): 3, 1951, к которым за дальнейшими сведениями мы и отсылаем читателя.