Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами.Попытаемся найти выражение любого решения однородного уравнения характеристическая функция оператора
Действительно,
так как Докажем теперь основную теорему, показывающую полноту системы функций Теорема I. Если
где
где сумма взята по всем нулям а уравнения Доказательство. Если
следует, что
Так как
где
если найти интеграл в правой части (как сумму вычетов относительно точек а, получим представление (81). Тем самым теорема доказана. Из этой теоремы следует, в частости, что Для дальнейшего исследования поставленного вопроса нам будет необходим ряд определений и вспомогательных предположений, к которым мы и переходим. Рассмотрим случай, когда
В этом случае в качестве характеристики роста
Функция
Кроме того, из неравенства
Действительно,
Функция
монотонно растет, и более того, в силу свойств
монотонно не убывает и неограниченно растет. Если же
то определим
Отношение
будет монотонно возрастающей функцией. Отношение
как легко видеть, будет монотонно невозрастающей функцией, стремящейся к определенному пределу с ростом быстрее показательной при любом
где
заведомо будет регулярна вне круга Действительно, разлагая
и
будут регулярными функциями
при
мы непосредственно получаем оценку
Так как при действительных
которое получается простыми заменами переменных в интегралах, то в силу теоремы единственности аналитических функций это представление будет иметь место при любых комплексных Сиг, подчиняющихся условию
сохраняющему абсолютную и равномерную сходимость последнего интеграла в равенствах (94). Допустим, что на окружности
будет иметь представление
где сумма взята по всем нулям а (с кратностями интеграла (96) может иметь только полюсы в нулях
будет вследствие (97) и регулярности
где степень многочлена Теорема II. Если целая функция
и
где
где Следствие 1. По теореме II § 1 главы III, если
что при этом
где Следствие 2. Если все нули
где Доказательство теоремы II. Установим прежде всего некоторые свойства решений уравнения
Далее, вследствие (96) и (94) при
Но при любом
вследствие соотношений (103) и возможности переставлять суммирование и интегрирование, когда Под знаком последнего интеграла стоит делая функция
так как первые два интеграла можно переставить между собой, после чего из-за соотношения (105) подынтегральная функция будет регулярной по Воспользовавшись тождеством (106), мы получаем новое выражение для
Каково бы ни было целое положительное число иметь место равенство
вследствие возможности переставлять первые два интеграла между собой и соотношений (103). Отсюда окончательно мы получаем основное соотношение
справедливое, если Мы можем оценить по модулю разность
если воспользуемся условием (101) нашей теоремы и неравенством (93). Придем к неравенству
справедливому при любых Положив
верным при
Считая, что
Тогда, так как
и
при
при
другими словами, получим неравенство (102) нашей теоремы. Постоянные С, X не зависят от В качестве примеров рассмотрим два уравнения нашего типа:
с характеристическими функциями
где
пары сопряженных нулей будут отделяться друг от друга, и на этих окружностях будет выполняться, как легко подсчитать, неравенство
значит, если
где Функция
Рассуждения, совершенно аналогичные предшествующим, показывают, что и решение уравнения Оценка скорости сходимости функций Очень подробно и для многих случаев решения общих функциональных уравнений типа (75), когда 29 (71): 3, 1951, к которым за дальнейшими сведениями мы и отсылаем читателя.
|
1 |
Оглавление
|