2. Строгий вывод формулы Эйлера с остаточным членом.

Воспользуемся формулой Тейлора

в которой — остаточный член — будем брать в интегральной форме

Замена переменного

приводит его к виду

Полагая в соотношении найдем

С помощью этой формулы разложим по степеням единицы разность первообразной функции и разность ее производных до порядка включительно, уменьшая каждый раз число членов разложения на единицу.

Так как

и, кроме того, последовательно

то мы будем иметь

Идея дальнейших рассуждений ясна: функция входит рассматриваемые равенства только один раз; в левые части напи санных равенств входят разности от первообразной функции ее самой и последовательных производных; все эти элементы (как раз ности) суммируются просто. Надо, таким образом, подобрать такук линейную комбинацию из правых частей (а следовательно, и левых) чтобы в этой комбинации пропали слагаемые правой части, в ко торые входят

Умножим первое соотношение на второе на греты на предпоследнее на и сложим почленно полу ченные равенства, тогда получим

Рассмотрим отдельно сумму

Покажем, что коэффициенты можно выбрать так, что все коэффициенты при производных

обратятся в нуль. Запишем с этой целью сумму так:

или

Итак, коэффициентом при в сумме будет следующее выражение:

Числа мы хотим выбрать так, чтобы

Выше мы видели, что числа Бернулли удовлетворяют символическому соотношению (26):

или в развернутом виде

Замечая, что

получим

откуда, сокращая на окончательно имеем

Это соотношение имеет место; соотношению же

мы хотим удовлетворить. Ясно, что для этого достаточно считать

Выражение суммы 5 показывает, что это и необходимо. Итак, (числа Эйлера) мы должны выбрать равными соответствующим числам Бернулли, разделенным на факториал индекса.

Полагая в соотношении (65)

мы по доказанному уничтожим сумму всех слагаемых, содержащих Производя эту подстановку, получим

и так как

[в силу (14)], то окончательно

Определяя отсюда имеем

Суммируя по х от до получим формулу Эйлера с остаточным членом

Наиболее часто суммирование приходится начинать с нуля. В этом случае будем пользоваться формулой

Рассмотрим пример. Пусть есть многочлен степени тогда тождественно обращается в нуль, и следовательно формула Эйлера, если в остаточный член войдет обращается в формулу (22). Положим, например, тогда формула