2. Строгий вывод формулы Эйлера с остаточным членом.
Воспользуемся формулой Тейлора
в которой
— остаточный член — будем брать в интегральной форме
Замена переменного
приводит его к виду
Полагая в соотношении
найдем
С помощью этой формулы разложим по степеням единицы разность первообразной функции
и разность ее производных до
порядка включительно, уменьшая каждый раз число членов разложения на единицу.
Так как
и, кроме того, последовательно
Рассмотрим отдельно сумму
Покажем, что коэффициенты
можно выбрать так, что все коэффициенты при производных
обратятся в нуль. Запишем с этой целью сумму
так:
или
Итак, коэффициентом при
в сумме
будет следующее выражение:
Числа
мы хотим выбрать так, чтобы
Выше мы видели, что числа Бернулли удовлетворяют символическому соотношению (26):
или в развернутом виде
Замечая, что
получим
откуда, сокращая на
окончательно имеем
Это соотношение имеет место; соотношению же
мы хотим удовлетворить. Ясно, что для этого достаточно считать
Выражение суммы 5 показывает, что это и необходимо. Итак,
(числа Эйлера) мы должны выбрать равными соответствующим числам Бернулли, разделенным на факториал индекса.
Полагая в соотношении (65)
мы по доказанному уничтожим сумму всех слагаемых, содержащих
Производя эту подстановку, получим
и так как
[в силу (14)], то окончательно
Определяя отсюда
имеем
Суммируя по х от
до
получим формулу Эйлера с остаточным членом
Наиболее часто суммирование приходится начинать с нуля. В этом случае будем пользоваться формулой
Рассмотрим пример. Пусть
есть многочлен степени
тогда
тождественно обращается в нуль, и следовательно формула Эйлера, если в остаточный член войдет
обращается в формулу (22). Положим, например,
тогда формула