2. Интерполяция рациональными дробями и одна теорема а целых функциях.

Введем в рассмотрение функцию связанную с монотонно неубывающей и неограниченно растущей последовательностью чисел определил эту функцию интегралом

где — по-прежнему число точек последовательности удовлетворяющих неравенству

Разбивая в правой части этого равенства интеграл на сумму интегралов по отрезкам, где сохраняет постоянное значение, после простых вычислений получим

Предполагая, что придем к неравенству

Неравенство (33) позволяет теперь доказать одну теорему об интерполяции рациональными дробями.

Теорема II. Если функции определяются монотонно неубывающей последовательностью чисел — максимум модуля целой функции то при выполнении условия

рациональные интерполяционные дроби

равномерно сходятся к в любом конечном круге

Дроби , как легко видеть, удовлетворяют условиям

Доказательство. Заметим, что имеет место соотношение

где есть окружность Это соотношение можно получить непосредственно, если вычислить интеграл с помощью вычетов, приняв во внимание, что подынтегральная функция имеет простые полюса в точках

Оценим величину . Воспользовавшись неравенством (33) и тем, что при

придем к неравенству

Условие (34) непосредственно дает стремление к нулю с ростом

В условиях (18) и (34) теорем I и II пределы по могут быть заменены пределами по любой последовательности соответственно. Эта замена приводит к сходимости к некоторых подпоследовательностей

Воспользуемся приближением рациональными дробями (35) для доказательства одной теоремы, относящейся к теории функций комплексного переменного, которая нам понадобится в дальнейшем.

Теорема II. Если — целая функция, растущая не скорее показательной,

то, каковы бы ни были всегда существует окружность радиуса на которой

выполняется неравенство

Доказательство. Положим где знак есть обозначение целой части числа а. Рассмотрим окружность в плоскости :

и допустим, что на каждой из этих окружностей имеется точка а, в которой выполняется для неравенство, обратное неравенству (37). Найдем функции для последовательности точек а, расположенных на этих окружностях Нетрудно заметить, что

Поэтому при

Заменяя в формуле на и полагая мы будем иметь соотношение

где определяется формулой (36), а — формулой (35). Найдем оценки для при выбранных и в предположении, что выполняется неравенство, обратное (37) в каждой точке Мы получим, что при ,

и что

Объединяя эти неравенства, мы получаем неравенство

Так как неограниченно растет, а то это неравенство невозможно при Значит, хотя бы на одной окружности должно выполняться неравенство (37), что и доказывает нашу теорему.