Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Ряд Ньютона при произвольных узлах интерполяции1. Область сходимости ряда Ньютона.В этом параграфе мы рассмотрим различные случаи расположения узлов интерполяции. Мы будем предполагать, что приближаемая функция функцией. В предыдущем параграфе мы подробно рассмотрели тот случай, когда узлы интерполяции — целые неотрицательные числа. В этом случае областью сходимости ряда Ньютона была полуплоскость. В общем случае ряда Ньютона область сходимости может быть произвольной областью комплексной плоскости, в частности всей плоскостью без бесконечно удаленной точки. Этот последний случай мы рассмотрим в первую очередь. Докажем теорему: Теорема I. Если узлы интерполяции
и ряд Ньютона
сходится для какого-нибудь
Числовой ряд
(А не зависит от
где Это доказательство ничем не отличается от доказательства теоремы II § 2 настоящей главы Так же как и в том доказательстве, пользуясь нашими неравенствами и положив
Так как последняя сумма, зависящая от Покажем теперь, что областью сходимости ряда Ньютона
может быть произвольная односвязная область с аналитической границей. Пусть внутреннюю по отношению к Положим теперь
и рассмотрим последовательность областей
Положим
Так как
Допустив, что
Итак, если ряд (118) сходится при
и значит, этот ряд сходится для всякого внутренней точкой области
Совершенно так же, если В качестве примера на определение области сходимости интерполяционного ряда рассмотрим область сходимости ряда Стирлинга. Интерполяционный ряд называется рядом Стирлинга, если узлы интерполяции будут:
Положим также
где
Это же обстоятельство является также непосредственным следствием сходимости и ряда
Рассмотрим теперь разности
Положив
так как
и
Отсюда следует, что
и что
Из этих оценок теперь уже следует непосредственно, что при сходимости хотя бы одного из рядов
так как в этом случае Из этих неравенств уже следует равномерная сходимость при
Итак, ряды Докажем, что если ряд Итак, допустим, что ряды
а значит, и ряд
Отсюда уже следует в силу стремления
непосредственно следует сходимость ряда
при произвольном
по теореме умножения одновременно сходятся или расходятся, так как, например,
Так же устанавливается и обратная связь между этими рядами. Итак, Положим теперь
Тогда ряд
где знак
Итак, областью сходимости ряда Стирлинга будет вся плоскость без бесконечно удаленной точки. Сходимости этого ряда в одной точке недостаточно для сходимости где-либо еще. Сходящийся в двух точках ряд Стирлинга представляет целую функцию. Из ранее полученных оценок непосредственно следует, что
с помощью чего легко получить, что
Это последнее соотношение показывает, что ряды достаточно положить
Тогда, как легко проверить, ряд Во всех дальнейших теоремах этого параграфа мы будем считать, что ряд Ньютона дается равенством (115), где
где
и вследствие представления (54) гл. I
где С — замкнутый спрямляемый контур, лежащий в области регулярности
|
1 |
Оглавление
|