§ 3. Ряд Ньютона при произвольных узлах интерполяции

1. Область сходимости ряда Ньютона.

В этом параграфе мы рассмотрим различные случаи расположения узлов интерполяции.

Мы будем предполагать, что приближаемая функция будет аналитической в той области, в которой лежат узлы интерполяции. В частности, если узлы интерполяции имеют точку накопления в бесконечности, мы будем предполагать целой

функцией. В предыдущем параграфе мы подробно рассмотрели тот случай, когда узлы интерполяции — целые неотрицательные числа. В этом случае областью сходимости ряда Ньютона была полуплоскость. В общем случае ряда Ньютона область сходимости может быть произвольной областью комплексной плоскости, в частности всей плоскостью без бесконечно удаленной точки. Этот последний случай мы рассмотрим в первую очередь. Докажем теорему:

Теорема I. Если узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности,

и ряд Ньютона

сходится для какого-нибудь то он сходится равномерно в любом круге будет целой функцией. Доказательство. Действительно,

Числовой ряд по условию нашей теоремы — сходящийся, при удовлетворяют, очевидно, неравенствам

(А не зависит от и число определяется условиями ) и неравенствам

где не зависит от Эти неравенства уже позволяют доказать нашу теорему.

Это доказательство ничем не отличается от доказательства теоремы II § 2 настоящей главы Так же как и в том доказательстве, пользуясь нашими неравенствами и положив мы получим при неравенство

Так как последняя сумма, зависящая от при может быть сделана меньше любого при достаточно большом и произвольном в силу сходимости ряда стремления к нулю то, действительно, ряд Ньютона (115) равномерно сходится в круге при лтобом и — целая функция.

Покажем теперь, что областью сходимости ряда Ньютона

может быть произвольная односвязная область с аналитической границей. Пусть будет односвязная область в плоскости граница которой имеет не менее двух точек и будет внутренней точкой По теореме Римана всегда существует аналитическая функция конформно отображающая область на круг в плоскости С. Число называется, как известно, радиусом конформности При этом отображении всякая внутренняя точка переходит во внутреннюю точку круга Обратная функция переводит круг конформно в область Каждой окружности будет при этом отображении в плоскости соответствовать замкнутый аналитический контур Итак, каждой точке являющейся внутренней точкой можно сопоставить область

внутреннюю по отношению к на границе которой лежит точка

Положим теперь

и рассмотрим последовательность областей с границами каждая из которых является частью следующей. По теореме о равномерном приближении функций в комплексной области многочленами функцию регулярную в замкнутой области можно приблизить многочленом так, чтобы в этой области выполнялось неравенство

Положим и рассмотрим ряд

Так как — многочлен, то откуда следует, что ряд (118) отличается от ряда (116) только формой записи. Какую бы внутреннюю точку области мы ни взяли, она будет внутренней точкой всех областей при Если точке соответствует контур то и вследствие неравенств (117)

Допустив, что мы из соотношений (119) получаем, что

Итак, если ряд (118) сходится при то

и значит, этот ряд сходится для всякого являющегося

внутренней точкой области с границей соответствующей точке так как в силу сходимости ряда (118) при и соотношения (120)

Совершенно так же, если то областью сходимости ряда (118) будет область с границей Это утверждение есть прямое следствие предельных соотношений (120). При. областью сходимости ряда (118) будет область

В качестве примера на определение области сходимости интерполяционного ряда рассмотрим область сходимости ряда Стирлинга. Интерполяционный ряд называется рядом Стирлинга, если узлы интерполяции будут: Мы будем записывать ряд. Стирлинга в форме

Положим также Тогда при одновременно будут сходиться или расходиться ряды

где Заметим прежде всего, что из сходимости ряда непосредственно; следует, что

Это же обстоятельство является также непосредственным следствием сходимости и ряда так как

Рассмотрим теперь разности

Положив и считая, что получим оценку

так как

и

Отсюда следует, что

и что

Из этих оценок теперь уже следует непосредственно, что при сходимости хотя бы одного из рядов или мы будем иметь неравенства

так как в этом случае стремится к нулю с ростом причем эти оценки равномерны по при

Из этих неравенств уже следует равномерная сходимость при где — любое, ряда

Итак, ряды одновременно сходятся или расходятся. Условимся считать, что в дальнейшем мы будем давать переменной частные значения, не равные другими словами, такие, что ряд Стирлинга не обрывается и его сходимость эквивалентна сходимости ряда

Докажем, что если ряд сходится в двух точках то он сходится при любом конечном . В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться теоремой I § 2 настоящей главы, которая утверждает, что из сходимости рядов следует сходимость ряда Эту теорему для сокращения записи мы будем называть теоремой умножения.

Итак, допустим, что ряды сходятся. Значит, сходятся и ряды По теопеме умножения будут сходиться и ряды

а значит, и ряд

Отсюда уже следует в силу стремления к нулю, что сходится ряд Совершенно так же» умножая члены ряда соответственно на величины а члены ряда на что возможно в силу теоремы умножения, и вычитая полученные ряды почленно, мы получим сходимость ряда сходимости рядов

непосредственно следует сходимость ряда а значит, и равномерная сходимость в любом круге ряда

при произвольном что эквивалентно равномерной сходимости ряда Стирлинга при произвольном Ряды

по теореме умножения одновременно сходятся или расходятся, так как, например,

Так же устанавливается и обратная связь между этими рядами. Итак, одновременно сходятся или расходятся при

Положим теперь

Тогда ряд будет сходящимся, так как

где знак обозначает целую часть от откуда следует сходимость ряда Но если мы допустим, что сходится в точке то мы придем к противоречию, так как тогда будет сходиться ряд

Итак, областью сходимости ряда Стирлинга будет вся плоскость без бесконечно удаленной точки. Сходимости этого ряда в одной точке недостаточно для сходимости где-либо еще. Сходящийся в двух точках ряд Стирлинга представляет целую функцию. Из ранее полученных оценок непосредственно следует, что

с помощью чего легко получить, что

Это последнее соотношение показывает, что ряды одновременно сходятся или расходятся. Легко построить ряд сходящийся при любом сумма модулей членов которого будет при любом расходящейся. Для этого

достаточно положить

Тогда, как легко проверить, ряд сходящимся, а ряд будет расходящимся при любом Значит, соответствующий ряд Стирлинга будет при любом сходиться, но не абсолютно.

Во всех дальнейших теоремах этого параграфа мы будем считать, что ряд Ньютона дается равенством (115), где и что формула Ньютона имеет вид

где

и вследствие представления (54) гл. I

где С — замкнутый спрямляемый контур, лежащий в области регулярности причем узлы интерполяции и будут внутренними точками конечной области, границей которой является контур С. Мы переходим к рассмотрению различных типов расположения узлов интерполяции и установлению достаточных условий представимости в некоторой области функции рядом (115) или сходимости к в некоторой области подпоследовательности многочленов имеющих вид (122).