2. Приближение функций многочленами.

Пусть — непрерывная периодическая функция с периодом Положим

Тригонометрический многочлен, при котором достигается минимум в правой части (123), называется тригонометрическим многочленом наилучшего приближения. Числа очевидно, монотонно не возрастают.

Пусть непрерывна на Положим

Многочлен осуществляющий минимуме правой части (124), называется многочленом наилучшего приближения, а числа

также монотонно не возрастают. Вейерштрассом было доказано стремление к нулю чисел . Так как скорость убывания чисел связана с аналитическими свойствами приближаемых функций, то мы приведем здесь две теоремы, дающие не только чисто качественные факты стремления к нулю чисел но и порядки их убывания в зависимости от свойств функций. Эти оценки будут нам нужны и в дальнейшем.

Наибольшие заслуги в развитии стройной теории приближений принадлежат С. Н. Бернштейну, исходившему в своих исследованиях из замечательных общих положений, установленных основоположником теории наилучших приближений П. Л. Чебышевым.

Теорема I. Если — периодическая с периодом раз дифференцируемая функция и модуль непрерывности будет то

где X — абсолютная постоянная.

Доказательство. Положим

Тогда

другими словами, — тригонометрический многочлен степени относительно х. Заметим также, что период есть . В силу этого обстоятельства, если и — периодическая

функция с периодом то при

другими словами, наш интеграл будет тригонометрическим многочленом степени не выше Теперь рассмотрим выражение

Согласно (120)

и, следовательно, в силу сказанного выше, будет тригонометрическим многочленом степени не выше

Оценим разность

удовлетворяет условиям леммы 1, значит, мы можем воспользоваться неравенством (122) и получить неравенство

Но имеет период поэтому

Остается оценить отношение Имеем

Из неравенств (129) и (130) непосредственно следует оценка

Пользуясь неравенствами (128) и (131); мы получаем окончательно, что

вследствие неравенства и монотонности Итак,

Так как

другими словами, неравенство (125) будет выполнено как для четных, так и для нечетных

Переход в теореме I от периода к любому периоду х несложен, так как если — периодическая с периодом и удовлетворяет остальным условиям нашей теоремы, то будет иметь период а модуль непрерывности будет если — модуль непрерывности

Приведем три следствия из доказанной общей теоремы. Следствие 1. Так как для всякой непрерывной функции на конечном отрезке то при периодичности тригонометрические приближения равномерно сходятся к функции. Это — первая теорема Вейерштрасса.

Следствие 2. Если — аналитическая функция в полосе, содержащей действительную ось при сколь угодно малом то

где не зависит от

Действительно, по теореме о среднем

где максимум берется по всем х из интервала периода. Но аналитическая функция в полосе Поэтому в каждой точке х действительной оси будет справедлива оценка

Тогда по теореме I при любом целом

Беря из интервала мы получаем, что

Следствие 3. Если целая функция, то

Действительно, если — целая функция, то в неравенстве (137) можно взять сколь угодно большим, а значит, и можно предполагать сколь угодно большим. Из неравенств (137) и (136) будет следовать тогда неравенство

Полагая мы из этого неравенства сразу получаем соотношение (138), так как произвольно велико. Неравенство (135) и предельное соотношение (138) были впервые доказаны С. Н. Бернштейном.

Теорема II. Если на отрезке раз дифференцируемая функция и имеет модуль непрерывности (8), то для этой функции удовлетворяет неравенству

где X — абсолютная постоянная.

Доказательство. Предположим сначала, что отрезок есть Для этого рассмотрим функцию

Если была раз дифференцируема на то и будет также раз дифференцируема и модуль непрерывности — будет удовлетворять соотношению

так как

Если какая-либо функция непрерывна на и имеет модуль непрерывности , то функция будет непрерывной периодической функцией с периодом 2. Так как то для модуля непрерывности

функции будут справедливы неравенства

где при .

По теореме I при функция может быть приближена многочленом степени не выше с точностью

Так как

и значит, Заменяя х на мы получаем, что откуда

где — многочлен степени не выше так как ), как мы знаем, только постоянным множителем отличается от многочлена Чебышева. Тогда существует многочлен степени не выше такой, что

Полагая

и замечая, что

мы можем утверждать, что -модуль непрерывности не превосходит

Но тогда существует многочлен степени не выше такой,

что

Полагая опять

мы убеждаемся, что ее модуль непрерывности не превосходит величины

Приближая многочленом степени не выше мы снова строим прежним образом функцию Продолжая этот процесс и замечая, что отличается от многочленом степени не выше мы придем к тому, что которая отличается от только многочленом степени не выше можно, наконец, приблизить многочленом степени так что

где - абсолютная постоянная теоремы I.

Переходя от интервала к интервалу воспользовавшись при этом неравенством (140), мы и получаем основное неравенство нашей теоремы (139). Теоремы I и II носят название теорем Т. Джексона.

Следствия из теоремы II.

1. Всякая непрерывная на конечном отрезке функция может быть приближена равномерно сходящимся к ней рядом многочленов. Это — теорема Вейерштрасса.

2. Если функция — аналитическая в каждой точке отрезка, то

где не зависит от и растет вместе с минимальным радиусом круга а — любая точка отрезка, на котором будет регулярной.

3. Если — целая функция, то

Доказательства следствий 2 и 3 ничем не отличаются от доказательств следствий 2 и 3 теоремы I. Неравенство (144) и предельное соотношение (145) принадлежат С. Н. Бернштейну.

Ниже мы дадим доказательство теоремы С. Н. Бернштейна, содержащей эти следствия.