Главная > Исчисление конечных разностей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Приближение функций многочленами.

Пусть — непрерывная периодическая функция с периодом Положим

Тригонометрический многочлен, при котором достигается минимум в правой части (123), называется тригонометрическим многочленом наилучшего приближения. Числа очевидно, монотонно не возрастают.

Пусть непрерывна на Положим

Многочлен осуществляющий минимуме правой части (124), называется многочленом наилучшего приближения, а числа

также монотонно не возрастают. Вейерштрассом было доказано стремление к нулю чисел . Так как скорость убывания чисел связана с аналитическими свойствами приближаемых функций, то мы приведем здесь две теоремы, дающие не только чисто качественные факты стремления к нулю чисел но и порядки их убывания в зависимости от свойств функций. Эти оценки будут нам нужны и в дальнейшем.

Наибольшие заслуги в развитии стройной теории приближений принадлежат С. Н. Бернштейну, исходившему в своих исследованиях из замечательных общих положений, установленных основоположником теории наилучших приближений П. Л. Чебышевым.

Теорема I. Если — периодическая с периодом раз дифференцируемая функция и модуль непрерывности будет то

где X — абсолютная постоянная.

Доказательство. Положим

Тогда

другими словами, — тригонометрический многочлен степени относительно х. Заметим также, что период есть . В силу этого обстоятельства, если и — периодическая

функция с периодом то при

другими словами, наш интеграл будет тригонометрическим многочленом степени не выше Теперь рассмотрим выражение

Согласно (120)

и, следовательно, в силу сказанного выше, будет тригонометрическим многочленом степени не выше

Оценим разность

удовлетворяет условиям леммы 1, значит, мы можем воспользоваться неравенством (122) и получить неравенство

Но имеет период поэтому

Остается оценить отношение Имеем

Из неравенств (129) и (130) непосредственно следует оценка

Пользуясь неравенствами (128) и (131); мы получаем окончательно, что

вследствие неравенства и монотонности Итак,

Так как

другими словами, неравенство (125) будет выполнено как для четных, так и для нечетных

Переход в теореме I от периода к любому периоду х несложен, так как если — периодическая с периодом и удовлетворяет остальным условиям нашей теоремы, то будет иметь период а модуль непрерывности будет если — модуль непрерывности

Приведем три следствия из доказанной общей теоремы. Следствие 1. Так как для всякой непрерывной функции на конечном отрезке то при периодичности тригонометрические приближения равномерно сходятся к функции. Это — первая теорема Вейерштрасса.

Следствие 2. Если — аналитическая функция в полосе, содержащей действительную ось при сколь угодно малом то

где не зависит от

Действительно, по теореме о среднем

где максимум берется по всем х из интервала периода. Но аналитическая функция в полосе Поэтому в каждой точке х действительной оси будет справедлива оценка

Тогда по теореме I при любом целом

Беря из интервала мы получаем, что

Следствие 3. Если целая функция, то

Действительно, если — целая функция, то в неравенстве (137) можно взять сколь угодно большим, а значит, и можно предполагать сколь угодно большим. Из неравенств (137) и (136) будет следовать тогда неравенство

Полагая мы из этого неравенства сразу получаем соотношение (138), так как произвольно велико. Неравенство (135) и предельное соотношение (138) были впервые доказаны С. Н. Бернштейном.

Теорема II. Если на отрезке раз дифференцируемая функция и имеет модуль непрерывности (8), то для этой функции удовлетворяет неравенству

где X — абсолютная постоянная.

Доказательство. Предположим сначала, что отрезок есть Для этого рассмотрим функцию

Если была раз дифференцируема на то и будет также раз дифференцируема и модуль непрерывности — будет удовлетворять соотношению

так как

Если какая-либо функция непрерывна на и имеет модуль непрерывности , то функция будет непрерывной периодической функцией с периодом 2. Так как то для модуля непрерывности

функции будут справедливы неравенства

где при .

По теореме I при функция может быть приближена многочленом степени не выше с точностью

Так как

и значит, Заменяя х на мы получаем, что откуда

где многочлен степени не выше так как ), как мы знаем, только постоянным множителем отличается от многочлена Чебышева. Тогда существует многочлен степени не выше такой, что

Полагая

и замечая, что

мы можем утверждать, что -модуль непрерывности не превосходит

Но тогда существует многочлен степени не выше такой,

что

Полагая опять

мы убеждаемся, что ее модуль непрерывности не превосходит величины

Приближая многочленом степени не выше мы снова строим прежним образом функцию Продолжая этот процесс и замечая, что отличается от многочленом степени не выше мы придем к тому, что которая отличается от только многочленом степени не выше можно, наконец, приблизить многочленом степени так что

где - абсолютная постоянная теоремы I.

Переходя от интервала к интервалу воспользовавшись при этом неравенством (140), мы и получаем основное неравенство нашей теоремы (139). Теоремы I и II носят название теорем Т. Джексона.

Следствия из теоремы II.

1. Всякая непрерывная на конечном отрезке функция может быть приближена равномерно сходящимся к ней рядом многочленов. Это — теорема Вейерштрасса.

2. Если функция — аналитическая в каждой точке отрезка, то

где не зависит от и растет вместе с минимальным радиусом круга а — любая точка отрезка, на котором будет регулярной.

3. Если — целая функция, то

Доказательства следствий 2 и 3 ничем не отличаются от доказательств следствий 2 и 3 теоремы I. Неравенство (144) и предельное соотношение (145) принадлежат С. Н. Бернштейну.

Ниже мы дадим доказательство теоремы С. Н. Бернштейна, содержащей эти следствия.

1
Оглавление
email@scask.ru