2. Основные теоремы о решениях линейного уравнения.

Займемся сначала исследованием однородного уравнения. Итак, рассмотрим разностное уравнение

где — заданные функции от х. Будем опять считать х принимающим значения Функции будем считать имеющими конечные и определенные значения на этом множестве и не тождественно равной нулю на нем.

Каждое решение уравнения (13) определяется заданием начальных значений

Прежде всего мы можем доказать теорему.

Теорема I. Если — решения уравнения

то и функция

где постоянные, будет также решением этого уравнения.

Доказательство. Положим тогда к к

Меняя во второй части порядок суммирования, получим

так как все — частные решения нашего уравнения.

Значит, — тоже решение уравнения, и теорема доказана. Теперь мы можем доказать и теорему об общем решении линейного уравнения без правой части.

Теорема II. Если — решения уравнения (13):

причем определитель

отличен от нуля, то общее решение нашего линейного однородного уравнения имеет вид

где — произвольные постоянные.

Доказательство. Рассмотрим решений уравнения определяемых начальными значениями:

и притом выбранными так (что, естественно, всегда можно сделать), чтобы определитель (15)

был отличен от нуля.

Заданием начальных значений функции полностью определяются на всей нашей последовательности и значит, по первой теореме функция

где все — постоянные, также будет решением уравнения (13).

Легко показать, что все решения уравнения (13) содержатся в совокупности функций Действительно, пусть мы имеем произвольное решение Оно вполне определяется заданием начальных значений . Выберем теперь из совокупности функций такую, которая имела бы те же начальные значения. Иначе говоря, нам нужно найти такие постоянные

чтобы были выполнены равенств:

Но это можно сделать, и притом единственным образом, так как определитель системы отличен от нуля.

Решив эту систему линейных уравнений относительно мы найдем их значения и получим, таким образом, функцию имеющую те же начальные значения, что и Но так как начальные значения определяют единственным образом функцию, удовлетворяющую уравнению (13), то (на множестве

Тем самым теорема доказана.

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

Относительно неоднородного линейного уравнения имеет место теорема, аналогичная соответствующей теореме в теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Теорема III. Общее решение линейного неоднородного уравнения

представляется в виде суммы частного его решения и общего решения линейного однородного уравнения

т. е.

где — частные решения однородного уравнения и притом такие, что для них

Доказательство. Пусть — любое решение нашего неоднородного уравнения. Заменим тогда через Мы получим, полагая что

Так как решение нашего неоднородного уравнения, то

и, значит,

Но общее решение этого уравнения представляется, как это следует из теоремы II, в виде

где — частные решения однородного уравнения и притом такие, что

откуда и следует, что

В теории линейных дифференциальных уравнений вводится понятие линейно независимых решений, и теорема II доказывается для любой системы линейно независимых решений. В теории линейных разностных уравнений полной аналогии с этим установить нельзя, но в некоторых частных предположениях относительно поведения коэффициентов линейного уравнения аналогия устанавливается.

Пусть — функции, имеющие конечные и определенные значения при Тогда можно дать признак их линейной зависимости или независимости.