3. Третье представление разделенной разности и формула Эрмита.

Мы дадим теперь представление разделенной разности в предположении, что — внутренние точки односвязной области в которой аналитическая функция будет предполагаться регулярной.

Предположим сначала, что все точки различны между собой. Пусть С — любой замкнутый спрямляемый контур в плоскости комплексного переменного целиком лежащий внутри области регулярности внутри которого в свою очередь лежат все точки

Рассмотрим интеграл

считая, что обход контура производится в положительном направлении. Вычислим этот интеграл с помощью вычетов. Подынтегральная функция имеет полюсы не выше первого порядка в точках Пользуясь известным правилом для нахождения вычетов в случае простых полюсов, мы получим

Сопоставляя полученное выражение с (48), мы получаем новое представление разделенной разности:

Это представление доказано нами в предположении, что все различны между собой. Но левая часть этого равенства на основании представления (47) есть аналитическая функция каждого из переменных регулярная в области границей которой является контур С. То же самое обстоятельство имеет место и для правой части равенства (54). Это позволяет утверждать, что представление (54) будет оставаться верным, как бы мы ни перемещали оставляя только их внутренними точками области Отсюда следует, что для регулярной в области функции представление (54) будет иметь место в общем случае при любых совпадениях точек

Из представления (54) непосредственно следует оценка величины если воспользоваться тем, что модуль интеграла не превышает максимума модуля подынтегральной функции, умноженного на длину пути интегрирования. Мы получаем благодаря этому неравенство

где — длина контура С.

Представление (54) позволяет очень несложно получить в явном виде выражение разделенной разности и вид формулы Лагранжа в случае совпадения узлов интерполяции.

Пусть совокупность точек совпадает с совокупностью точек причем кратность точки мы предположим равной

Из представления (54) следует тогда, что

где контуры — окружности с центрами соответственно в точках радиусов расположенные вне друг друга и внутри С. Возможность такого представления интеграла по замкнутому контуру есть простое следствие теоремы Коши.

Введем обозначение и рассмотрим интеграл

Функция регулярна в круге, границей которого является контур . Поэтому, вспомнив известное из теории функций комплексного переменного выражение производной с помощью интеграла Коши, мы видим, что

откуда, воспользовавшись известной формулой для производной любого порядка от произведения двух функций, мы получаем окончательное выражение для

Итак, мы можем записать теперь выражение в явном виде, через значения и ее производных в узлах интерполяции. Объединяя соотношения (56), получим

Это представление получено нами в предположении аналитичности Но оно имеет место для любой аналитической функции

, а отсюда легко получить, что это представление справедливо всегда, когда имеют конечные и определенные значения. Положив теперь где не зависит от x, мы из представления (57) получаем выражение для

откуда и следует формула Эрмита:

Здесь интерполяционный многочлен удовлетворяющий уело виям (53), при замене на записан в явной форме.