Из представления (54) следует тогда, что
где контуры
— окружности с центрами соответственно в точках
радиусов
расположенные вне друг друга и внутри С. Возможность такого представления интеграла по замкнутому контуру есть простое следствие теоремы Коши.
Введем обозначение
и рассмотрим интеграл
Функция
регулярна в круге, границей которого является контур
. Поэтому, вспомнив известное из теории функций комплексного переменного выражение
производной с помощью интеграла Коши, мы видим, что
откуда, воспользовавшись известной формулой для производной любого порядка от произведения двух функций, мы получаем окончательное выражение для
Итак, мы можем записать теперь выражение
в явном виде, через значения
и ее производных в узлах интерполяции. Объединяя соотношения (56), получим
Это представление получено нами в предположении аналитичности
Но оно имеет место для любой аналитической функции