8. Геометрические свойства многочленов Бернулли.
Свойствами (I), (II), (III) достаточно подробно, как мы сейчас покажем, выясняется поведение кривой
Для удобства построений и простоты рассуждений будем рассматривать кривую
Из соотношения (14), определяющего 
следует, что
или
поэтому рассматриваемая кривая всегда проходит через начало координат. Получим еще ряд свойств рассматриваемой кривой на интервале 
. Полагая в соотношении 
получим
откуда
Если 
— четное, то, как показывает полученное соотношение, разность 
обращается в нуль. Если же 
— нечетное, но не равно единице, то 
и. следовательно, полученное соотношение дает 
Так как в рассматриваемом случае 
то мы можем и здесь писать
Итак, разность 
для любого 
обращается в нуль при 
Это значит, что кривая 
проходит (при любом 
через крайние точки интервала 
.
Определим теперь, сколько корней имеет 
внутри интервала 
.
Рассмотрим случай 
Положим в равенстве 
тогда мы получим, что
или так как
то
Допустим теперь, что 
имеет в интервале 
два корня 
(одно из этих а может, конечно, быть равно 
)
Так как мы можем теперь расположить нули в порядке роста, т. е. предположить, что выполнено неравенство
то по теореме Ролля отсюда следует, что 
имеет, кроме корней 0 и 1, также еще три корня внутри интервала 
. Повторяя это рассуждение, мы приходим к тому, что и 
имеет два корня внутри интервала 
и притом различных. Дифференцируем соотношение (53). Имеем
откуда следует, что
так как 
Значит, предположив, что 
имеет внутри интервала 
два корня, мы придем к тому, что и 
также имеет два различных корня внутри этого интервала. Идя дальше, мы, наконец, придем к тому, что 
ухимеет, кроме 0 и 1, еще два корня внутри интервала 
. Но кривая третьего порядка не может иметь четыре корня, и мы пришли к противоречию.
Итак, 
имеет внутри интервала 
единственную точку пересечения с осью абсцисс — точку 
Перейдем к случаю 
Так как 
и 
из равенства (53) получим
Отсюда следует, что, предположив существование нуля 
функции 
мы по теореме Ролля установим существование двух нулей: и 
функции 
а значит, и у функции 
Но по.
доказанному это невозможно. Итак, 
отлично от нуля внутри интервала 
. Найдем знак 
внутри этого интервала.
Из соотношения (49) следует, что
или
Итак,
откуда
Но из формулы (37) следует, что
значит,
Мы нашли таким образом, что при нечетном 
кривая 
лежит в интервале 
под осью абсцисс, а при четном — над осью абсцисс, так как ее знак в интервале 
не меняется по доказанному ранее.
Упражнения
(см. скан)
