§ 6. Приближение функций

1. Постановка задач и свойства непрерывных функций.

Формула Лагранжа, дающая многочлены, которые должны приближать функцию на отрезке, не всегда служит решением задачи о приближении функции многочленами. Известно что какова бы ни была треугольная таблица узлов интерполяции, в классе непрерывных на отрезке функций найдется функция, для которой интерполяционный процесс Лагранжа не будет сходящимся. Но несмотря на это, задача о приближении многочленами произвольной, непрерывной на отрезке функции имеет положительное решение. Другими словами, если функция непрерывна на отрезке то, как бы ни было мало всегда найдется многочлен такой, что

Это свойство степеней х называется полнотой степеней х в классе непрерывных функций на любом конечном отрезке. Обратно, всякая равномерно сходящаяся на отрезке последовательность многочленов сходится к непрерывной функции на этом отрезке. Другими словами, совокупность всех многочленов всюду плотна в пространстве непрерывных функций. Теорема о полноте системы была установлена Вейерштрассом и носит его имя.

Интерполяционный процесс Лагранжа, связанный с определенной треугольной таблицей узлов интерполяции

будет сходящимся процессом для более узкого класса функций, чем все непрерывные функции, причем этот класс определяется заданной бесконечной таблицей узлов. Если мы сохраним требование совпадения значений многочленов со значениями в узлах то можно легко построить последовательность многочленов равномерно сходящихся к произвольной непрерывной на отрезке функции, предполагая, что степень не превышает где рост зависит только от треугольной таблицы узлов. Существуют и другие способы изменения условий, накладываемых на интерполяционный процесс для того, чтобы он был сходящимся для всех непрерывных функций. В качестве процесса, близкого по конструкции к интерполяционному, можно привести процесс восстановления непрерывной функции по ее значениям на отрезке [0, 1] в точках — принадлежащий С. Н. Бернштейну. С. Н. Бернштейн показал, что для всякой непрерывной на отрезке [0, 1] функции последовательность многочленов

равномерно сходится к этой функции.

Мы остановимся лишь на некоторых из вопросов приближения функций, отсылая читателя для более глубокого изучения проблем приближения функций к книге И. П. Натансона «Конструктивная теория функций». Сходимость того или иного процесса приближения функций тесно связана с аналитическими свойствами, в частности с характеристиками непрерывности того класса функций, которые допускают равномерные приближения с помощью выбранного процесса. Поэтому мы введем понятие модуля непрерывности функции на отрезке который мы будем обозначать , где

Модуль непрерывности непрерывной на отрезке функции непрерывная функция в силу равномерной непрерывности да этом отрезке. Кроме того, модуль непрерывности есть монотонно неубывающая функция 8, что непосредственно следует из определения. Далее,

В случае, если то

(так как

Отсюда в силу определения и монотонного неубывания (следует

В частном случае, когда совпадает со всем отрезком

Кроме того, так как можно написать

или

Разбивая отрезок на равных частей точками

и соединяя отрезками прямых точки плоскости лежащие на кривой мы получим некоторую непрерывную ломаную линию с уравнением Функция является ломаной, вписанной в кривую причем тангенс угла наклона каждого из ее прямолилейных отрезков к оси х не превышает по абсолютной величине

Поэтому удовлетворяет условиям Липшица с той же константой

С другой стороны, из элементарных геометрических соображений следует неравенство

где

Допустим теперь, что — периодическая с периодом раз дифференцируемая функция, имеет на всей оси модуль непрерывности со (8).

Рассмотрим при произвольных величину

Непосредственным интегрированием легко убедиться в справедливости равенства

Разделив интервал на равных частей и соединив точки отрезками прямых, мы получим функцию удовлетворяющую неравенствам (117) и (118) с заменой в них на — а на на Если мы доопределим на всей оси с помощью уравнения то мы получим, что — периодическая функция [так как имеет период с периодом для которой всегда будут выполнены неравенства (117) и (118). Равенство (119), положив

мы можем переписать в виде

Предполагая, что мы из этого равенства, воспользовавшись неравенствами (117) и (118), получаем неравенство

Мы пришли, таким образом, к вспомогательному предложению.

Лемма 1. Если — периодическая с периодом функция, раз дифференцируемая, имеет модуль непрерывности на всей оси и — произвольное целое число, то для определенного равенством (120), при произвольных выполняется неравенство (122).