Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА III. ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ§ 1. Постановка задач и построение целой функции по ее значениям1. Построение целой функции по ее значениям в нехоторой последовательности точек.Задача о построении целой функции, удовлетворяющей условиям
Всегда имеет решение, каковы бы ни были числа
(числа Построим теперь функцию
где целые неотрицательные числа удовлетворяющими неравенствам
где Так как
Итак, Пусть
будет целой аналитической функцией, так как все нули знаменателя являются нулями и числителя и
таков вид любой целой функции, удовлетворяющей условиям (5) мы определили, таким образом, все целые функции, принимающие заданные значения в заданной последовательности точек, щача об определении целой функции по ее значениям на множестве точек, не имеющем предельной точки на конечной части плоскости, имеет всегда бесчисленное множество решений. Другие задачи этого типа, например задача о нахождении тех функций по значениям ее последовательных производных в данной последовательности точек, не имеют столь простых решений. Ниже мы рассмотрим одну из таких задач. Возвратимся к задаче построения целой функции по ее значениям. Для различных приложений подобных интерполяционных задач весьма важно знать, как будет расти функция говоря, определить трудно, грубые же границы для этого роста, связанные с ростом
будет сходящимся, если
причем, если, хотя бы для одного С другой стороны, мы уже видели, что если
где А — любая постоянная, то
Итак, интерполяционный процесс (7) будет сходящимся для значительно более узкого класса целых функций, чем класс целых функций, единственным образом определяющихся своими значениями в точках и достаточные условия, для того чтобы она единственным образом определялась по своим элементам определенного типа, то в качестве класса единственности мы будем брать любой класс функций, определяемый ограничениями, наложенными на их рост в случае, если эти достаточные ограничения в том или ином смысле близки к необходимым. Пусть числа
Так как
Эта функция Пусть целая функция
при любом По принципу максимума для аналитических функций максимум модуля
так как при
Из неравенства (14) следует, предполагая
Если бы
Итак, если целая функция
то
где
из которого в свою очередь следует условие (16), так как
Для функций класса Теорема I (М. В. Келдыша и И. И. Ибрагимова). Если задана последовательность узлов интерполяции
где
рходятся равномерно в любом конечном круге к
Доказательство. Положим
Функция
так как вычет в точке Умножая обе части тождества (22) на
но
Для доказательства нашей теоремы необходимо оценить по модулю правую часть тождества (24) на окружности
Воспользовавшись этими равенствами из представления
При
Из этих неравенств непосредственно следует неравенство
если Далее, имеем неравенство
если
что также будет иметь место при
Воспользовавшись неравенствами (27), (28) и (29), мы из соотношения (25) получаем неравенство
справедливое при
справедливая для всех Заметим, что расширение класса функций, для которых сходится интерполяционный процесс, достигается здесь благодаря тому, что степень Методом, использованным в этой теореме, можно было решить задачу о построении целой функции по ее значениям в точках к единице, правда, быстроту стремления к единице пришлось бы выбирать в зависимости от
|
1 |
Оглавление
|