ГЛАВА III. ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

§ 1. Постановка задач и построение целой функции по ее значениям

1. Построение целой функции по ее значениям в нехоторой последовательности точек.

Задача о построении целой функции, удовлетворяющей условиям

Всегда имеет решение, каковы бы ни были числа Сейчас мы решим эту задачу и выясним степень неопределенности ее решения. Без нарушения общности мы можем допустить, что возьмем целую функцию имеющую нулями числа а:

(числа подобраны так, чтобы произведение сходилось при любом ).

Построим теперь функцию

где целые неотрицательные числа будут наименьшими,

удовлетворяющими неравенствам

где — некоторая фиксированная постоянная. Так как удовлетворяют условиям (4), то, очевидно, ряд целых аналитических функций (3) будет равномерно сходиться в круге при любом и будет целой аналитической функцией.

Так как имеет нули в точках то

Итак, служит решением поставленной задачи об определении целой функции, принимающей заданные значения в заданной последовательности точек с точкой накопления в бесконечности.

Пусть — любая целая функция, удовлетворяющая условиям (5). Тогда

будет целой аналитической функцией, так как все нули знаменателя являются нулями и числителя и

таков вид любой целой функции, удовлетворяющей условиям (5) мы определили, таким образом, все целые функции, принимающие заданные значения в заданной последовательности точек, щача об определении целой функции по ее значениям на множестве точек, не имеющем предельной точки на конечной части плоскости, имеет всегда бесчисленное множество решений.

Другие задачи этого типа, например задача о нахождении тех функций по значениям ее последовательных производных в данной последовательности точек, не имеют столь простых решений. Ниже мы рассмотрим одну из таких задач.

Возвратимся к задаче построения целой функции по ее значениям. Для различных приложений подобных интерполяционных задач весьма важно знать, как будет расти функция удовлетворяющая условиям (5) и имеющая наименьший рост в классе всех таких функций. Если не накладывать никаких ограничений на числа то рост наименее быстро растущей функции, вообще

говоря, определить трудно, грубые же границы для этого роста, связанные с ростом написать легко. В ряде случаев мы знаем, к какому классу целых функций в смысле роста должна принадлежать интерполируемая функция Отсюда и возникает задача об определении целой функции, рост которой ограничен определенным образом, по ее значениям в точках Эта задача нами уже ранее рассматривалась, и теоремы V и VI § 3 главы II давали частичные решения этой общей задачи. Но интерполяционные процессы, в частности процесс Ньютона, вообще говоря, не могут давать полного решения подобных задач. В качестве примера рассмотрим задачу об определении целой функции по ее значениям в точках Мы уже знаем (см. теорему IX § 2 главы II), что интерполяционный ряд Ньютона для целой функции

будет сходящимся, если

причем, если, хотя бы для одного то ряд (7) будет сходиться заведомо не при любом конечном

С другой стороны, мы уже видели, что если и рост подчинен условиям

где А — любая постоянная, то тождественно равна нулю. Условия (9) не могут быть существенно усилены, так как рост функций подчиняется ограничениям

Итак, интерполяционный процесс (7) будет сходящимся для значительно более узкого класса целых функций, чем класс целых функций, единственным образом определяющихся своими значениями в точках Класс целых функций (в смысле роста), единственным образом определяющихся по своим элементам определенного типа, в частности по своим значениям в заданной последовательности точек, мы будем называть классом единственности для данной интерполяционной задачи. Так как не всегда можно наложить на рост целой функции необходимые

и достаточные условия, для того чтобы она единственным образом определялась по своим элементам определенного типа, то в качестве класса единственности мы будем брать любой класс функций, определяемый ограничениями, наложенными на их рост в случае, если эти достаточные ограничения в том или ином смысле близки к необходимым.

Пусть числа удовлетворяют условиям (2). Положим , предположив, что есть число точек удовлетворяющих неравенству другими словами, что -функция плотности последовательности а, рассмотрим интеграл

Так как постоянна на отрезках то можно, совершая интегрирование, прийти к другому выражению для

Эта функция также являющаяся характеристикой плотности последовательности чисел носит название функции Неванлинна.

Пусть целая функция с максимумом модуля имеет в точках Тогда функция

при любом будет также целой функцией.

По принципу максимума для аналитических функций максимум модуля на окружности больше ее значения в нуле. Значит,

так как при

Из неравенства (14) следует, предполагая что

Если бы имела при нуль порядка то имела бы максимум модуля равный и неравенство (15) давало бы для неравенство

Итак, если целая функция имеет нули в точках

то Класс К целых функций, определяемых условием (16), где функция Неванлинна для последовательности будет классом единственности для интерполяционной задачи определения целой функции по ее значениям в точках Действительно, если принадлежат к этому классу имеет нули в точках и для нее выполняется условие (16). Отсюда следует, что или что Сузим теперь несколько этот функциональный класс К, взяв его подкласс , содержащий все целые функции удовлетворяющие условию

где — некоторое фиксированное число, произвольная постоянная. Все функции этого класса принадлежат к классу К, так как из неравенства (17) следует неравенство

из которого в свою очередь следует условие (16), так как

Для функций класса может быть решена задача о построении функции по ее значениям в точках последовательность которых определяет класс

Теорема I (М. В. Келдыша и И. И. Ибрагимова). Если задана последовательность узлов интерполяции

с функцией Неванлинна и целая функция с максимумом модуля удовлетворяет при условию

где — постоянные, то интерполяционные многочлены

рходятся равномерно в любом конечном круге к и при любом

Доказательство. Положим и рассмотрим вспомогательную функцию двух комплексных переменных

Функция есть рациональная функция С, степень числителя на единицу ниже степени знаменателя, и все нули знаменателя различны между собой, так как и можно предполагать не совпадающим ни с одним из чисел Находя вычеты по всем простым полюсам , мы получаем представление в виде суммы простых дробей

так как вычет в точке равен единице, а вычет в точке как легко видеть, равен , где — многочлен, определенный равенством (19).

Умножая обе части тождества (22) на и интегрируя его почленно по окружности мы получим, что

но Значит, точки лежат внутри Поэтому

Для доказательства нашей теоремы необходимо оценить по модулю правую часть тождества (24) на окружности Заметим прежде всего, что при

Воспользовавшись этими равенствами из представления , мы получаем новое выражение для при

При имеют место очевидные неравенства

Из этих неравенств непосредственно следует неравенство

если что будет, очевидно, выполнено при и любом

Далее, имеем неравенство

если

что также будет иметь место при вследствие условия Наконец, при другими словами, при

Воспользовавшись неравенствами (27), (28) и (29), мы из соотношения (25) получаем неравенство

справедливое при Так как может быть выбрано сколь угодно малым, то, каково бы ни было можно положить Из неравенства (30) следует оценка

справедливая для всех Из этой оценки немедленно следует наша теорема.

Заметим, что расширение класса функций, для которых сходится интерполяционный процесс, достигается здесь благодаря тому, что степень интерполяционного многочлена уже не а может достигать величины Насколько шире класс функций, для которого верна эта теорема, чем тот , для которого обеспечена сходимость ряда Ньютона, видно из сравнения неравенства (17) с условием (153) теоремы VI § 3 главы II.

Методом, использованным в этой теореме, можно было решить задачу о построении целой функции по ее значениям в точках и для класса функций более широкого, чем Для этого достаточно было бы заменить постоянную величиной стремящейся

к единице, правда, быстроту стремления к единице пришлось бы выбирать в зависимости от