Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7. Интерполяционная задача и проблема моментов в комплексной плоскостиИнтерполяционная задача в еще более общем случае, чем исследованные выше, может быть рассматриваема как проблема моментов в комплексной плоскости. Пусть задана последовательность функций
регулярных соответственно вне конечных областей Построим последовательность многочленов
где С — окружность, содержащая внутри себя область Эти условия однозначно определяют
то
Поэтому степень Пусть Рассмотрим последовательность чисел
Мы можем поставить теперь задачу определения функции
если ряд справа равномерно сходится к Следует отметить, что Проблема определения класса функций
Мы рассмотрим теперь один общий подход к интерполяционной или моментной проблеме (217), опирающейся на непосредственную оценку многочленов Пусть
где
причем Равенство (218) имеет место, так как
если
Эта общая оценка Для оценки
Из этой системы уравнений для можем воспользоваться следующими из (221) неравенствами
из которых легко следует оценка Оценить числа Мы дадим теперь решение общей интерполяционной задачи (217), обладающее достаточной, в смысле порядка, точностью. Сделаем предположение, что функции
Такие ограничения для роста
так как при
Полагая теперь
и
мы из неравенств (224) получаем неравенства
где Полагая далее, при фиксированном
где Так как
Существование такого
верное при Определим теперь числа
которые мы предположим выполняющимися при
Из соотношений (230) непосредственно следует, что
где
при любом
будет также меньше единицы и при любом 5 найдется такое
Но если
и
Отсюда следует, что
если
если Но
и при
где Неравенства (237) и (238) позволяют теперь доказать две теоремы. Теорема I. Если последовательность функций
где
где Доказательство. Заметим прежде всего, что для
так как в неравенстве (237) вместо а, определяемого неравенствами Далее, вводя в рассмотрение функцию
где
При достаточно большом
так как Полагая в неравенстве (243) при
в силу неравенств (228). Поэтому при любом, но фиксированном
и при
так как
Важное следствие из этой теоремы мы получаем, если предположим, что
Пример функции
в котором
и Теорема II. Если последовательность функций
где при
где Доказательство. Для Рассматривая функцию
мы получаем при любом
в силу неравенств (228) и (249). Из этого неравенства и неравенства (238) теперь уже следует неравенство
Используя для оценки
что и доказывает нашу теорему, так как В частном случае, когда
для сходимости ряда (241) достаточно, чтобы
|
1 |
Оглавление
|