§ 7. Интерполяционная задача и проблема моментов в комплексной плоскости

Интерполяционная задача в еще более общем случае, чем исследованные выше, может быть рассматриваема как проблема моментов в комплексной плоскости.

Пусть задана последовательность функций

регулярных соответственно вне конечных областей

Построим последовательность многочленов ортогональную к последовательности функций Многочлены этой последовательности должны удовлетворять условиям

где С — окружность, содержащая внутри себя область

Эти условия однозначно определяют для любого так как для определения коэффициентов многочлена мы будем иметь систему линейных уравнений с треугольной матрицей. Действительно, если

то

Поэтому степень есть

Пусть регулярна, например, в круге причем все области вне которых регулярны функции находятся внутри круга

Рассмотрим последовательность чисел

Мы можем поставить теперь задачу определения функции по заданным ее моментам Решением этой задачи служит, очевидно, разложение функции в ряд по многочленам

если ряд справа равномерно сходится к в каком-либо круге Действительно, в этом случае моменты однозначно определяют функцию

Следует отметить, что однозначно определяется здесь своими моментами только в том классе, в котором сходится ряд по многочленам и что класс функций, однозначно определяемых моментами вообще говоря, шире класса сходимости моментного ряда.

Проблема определения класса функций которые могут быть представлены моментным рядом (217), равномерно сходящимся к в области, где все регулярны, является естественным обобщением интерполяционной задачи. Действительно, в случае треугольной таблицы узлов интерполяции

Мы рассмотрим теперь один общий подход к интерполяционной или моментной проблеме (217), опирающейся на непосредственную оценку многочленов и до известной степени учитывающей расположение особенностей и рост

Пусть односвязная область с жордановой границей внутри которой находятся все области вне которых регулярны, регулярна в определяются равенствами (217). Тогда

где

причем есть многочлен степени не выше наилучшим образом приближающий

Равенство (218) имеет место, так как при замене на . В частном случае, когда есть круг мы будем иметь, как известно, неравенство

если регулярна в круге и непрерывна на его границе. Из представления (218) следует неравенство

Эта общая оценка требующая оценок и будет использована нами в дальнейшем.

Для оценки можно воспользоваться тождествами

Из этой системы уравнений для с треугольной матрицей могут быть непосредственно найдены. Ухудшая оценку, мы

можем воспользоваться следующими из (221) неравенствами

из которых легко следует оценка если уже известны оценки величин

Оценить числа можно только сделав некоторые конкретные предположения о поведении функций Сделав такие предположения, мы сможем оценить и тем самым выяснить, при каких свойствах остаточный член в неравенстве (220) стремится к нулю.

Мы дадим теперь решение общей интерполяционной задачи (217), обладающее достаточной, в смысле порядка, точностью. Сделаем предположение, что функции помимо условий (213), удовлетворяют неравенствам

Такие ограничения для роста естественно, возникают при предположении регулярности в бесконечности и выполнении условий (213). В этом случае, полагая в неравенствах (222) , мы будем иметь неравенства

так как при

Полагая теперь

и

мы из неравенств (224) получаем неравенства

где и от не зависят, а постоянная.

Полагая далее, при фиксированном и произвольном

или где , мы получаем неравенство

где от не зависят и

Так как то при любом существует такое что

Существование такого совершенно очевидно. Поэтому, усиливая неравенство (227), мы получаем неравенство

верное при

Определим теперь числа из соотношений

которые мы предположим выполняющимися при выбираем, полагая Очевидно, что при таком выборе мы для любого будем иметь неравенство Введем теперь в рассмотрение функцию

Из соотношений (230) непосредственно следует, что

где многочлен, степени не выше Наименьший корень а уравнения

при любом заведомо меньше единицы. Поэтому наименьший по модулю корень уравнения

будет также меньше единицы и при любом 5 найдется такое что если Из уравнений (231) следует, что

Но если то — целая функция и регулярна в круге Если же то регулярна в круге

и регулярна, в круге

Отсюда следует, что

если

если

Но можно взять сколь угодно близким к к числу . Поэтому при из (226) мы имеем неравенство

и при

где — наименьший корень уравнения (232) с заменой на так как в этом случае

Неравенства (237) и (238) позволяют теперь доказать две теоремы. Теорема I. Если последовательность функций удовлетворяет условиям (213) и (223) и

регулярна в круге и

где — корень уравнения (232) с заменой на то имеет место разложение

где — многочлены задачи, определяемые соотношениями (215), и ряд сходится равномерно во всяком круге

Доказательство. Заметим прежде всего, что для в этом случае будут справедливы неравенства

так как в неравенстве (237) вместо а, определяемого неравенствами можно взять являющееся пределом (239), а имеет прежнее значение.

Далее, вводя в рассмотрение функцию определяемую соотношением (219), и пользуясь неравенством (219) при , мы получаем, при любом неравенство

где — постоянная. Если фиксировано, то при

При достаточно большом будет иметь место неравенство

так как

Полагая в неравенстве (243) при мы получаем неравенство

в силу неравенств (228). Поэтому при любом, но фиксированном

и при в силу неравенств (237),

так как при достаточно большом 9 будет сколь угодно близко к а, другими словами, Неравенства (245) и (246) доказывают нашу теорему, так как, используя их в неравенстве (220), мы получаем, что для ряда (241) удовлетворяет неравенству

Важное следствие из этой теоремы мы получаем, если предположим, что . В этом случае и условие отпадает, заменяясь условием, что регулярна в круге радиуса большего, чем все От этого последнего условия также легко освободиться, и остается только условие регулярности в начале координат и условия существования всех Другими словами, то регулярная в начале, должна быть тождественным нулем при условии

Пример функции где

в котором

и показывает, что условие (247) не может быть существенно улучшено.

Теорема II. Если последовательность функций удовлетворяет условиям (213) и (223) и, кроме того,

где то для всякой целой функции с модулем максимумом удовлетворяющим условию

при

где — любое число, а — наименьший корень уравнения (232), с заменой в нем на ряд (241) равномерно сходится к в любом конечном круге.

Доказательство. Для в этом случае будет иметь место неравенство (238).

Рассматривая функцию определяемую соотношением (211), пользуясь неравенством (219) при и полагая

мы получаем при любом неравенство

в силу неравенств (228) и (249).

Из этого неравенства и неравенства (238) теперь уже следует неравенство

Используя для оценки неравенство (220), мы получаем, что

что и доказывает нашу теорему, так как при фиксированном убывает скорее любой геометрической прогрессии.

В частном случае, когда

для сходимости ряда (241) достаточно, чтобы была целой функцией порядка не выше , а при порядке, равном — была бы