4. Многочлены С. Н. Бернштейна и их обобщение.

Весьма существенный в различных вопросах анализа процесс приближения многочленами произвольной, непрерывной на [0, 1] функции был найден С. Н. Бернштейном. Как показал С. Н, Бернштейн, многочлены

равномерно сходятся к если на отрезке непрерывна. Оценка приближения дается неравенствами

где — модуль непрерывности f(x) на [0, 1], причем эта оценка, вообще говоря, не может быть улучшена. Хотя из-за этого обстоятельства многочлены С. Н. Бернштейна нельзя использовать в тех вопросах, где нужны многочлены наилучшего приближения, или другие достаточно хорошо приближающие функцию многочлены, многочлены Бернштейна играют большую роль в проблемах, где необходимо иметь простую связь приближающих многочленов с функцией. Особенно эффектно эти многочлены используются для решения задачи моментов на конечном интервале. Заметим, что многочлены Бернштейна были найдены благодаря некоторым проблемам теории вероятностей.

Мы рассмотрим обобщенные многочлены Бернштейна, с помощью которых непосредственно устанавливается полнота системы функций

в классе всех непрерывных на отрезке [0, 1] функцийпри условии, что

Пусть Пусть также Число повторений одного и того же а в ряде мы будем называть кратностью а. Для функции мы

построим разделенную разность с узлами По формуле (57) настоящей главы

если — не равные между собой числа последовательности не превосходит кратности точки в нашей основной последовательности.

В силу неравенства (44) настоящей главы, которое остается в силе для нашей последовательности так как -любое число раз дифференцируемая функция,

Многочлен как мы уже знаем,

будет интерполяционным многочленом, удовлетворяющим условиям

где — частота точки в ряду

Вводя обозначения

и полагая в (164), мы получим тождество

Ьткуда следует, так как вследствие неравенства (163), что

Полагая в тождестве мы получаем тождество

Положим

Тогда

Построим разделенные разности с узлами для функции и рассмотрим интерполяционный многочлен

Положив мы получаем, что

где

к применимы те же рассуждения, что и к поэтому Положив

мы из (172) получаем тождество

Рассмотрим функцию

Заметим прежде всего, что

Далее, в силу (167), (170) и (174)

Выбирая при условии, что полагая

и замечая, что

мы из соотношения (176) получаем неравенство

где — постоянная, не зависящая от При условиях величина стремится к нулю с ростом Мы ниже это докажем, а пока будем ссылаться, как на известный факт.

Рассмотрим теперь сумму

Пользуясь неравенством Буняковского

и полагая

мы непосредственно получаем неравенство

Рассмотрим, наконец, сумму

Дадим две оценки величины этой суммы в зависимости от того, будет ли . Пусть . Тогда при

Поэтому

Пусть теперь Так как при

то при любом

Значит,

Полагая мы получаем окончательно неравенство

Считая, что , и принимая во внимание (182), мыполучаем, что при любом имеет место неравенство

Определим обобщенный многочлен С. Н. Бернштейна для любой ограниченной на [0. 1] функции положив

Этот многочлен связан с последовательностью

Если положить то простой подсчет показывает, что этот многочлен переходит в обыкновенный многочлен С. Н. Бернштейна (159).

Теорема V. Если задана последовательность

и ограничена на [0, 1], то в каждой точке непрерывности многочлены сходятся к Если же непрерывна на [0, 1] и ее модуль непрерывности со (8), то при условии имеет место неравенство

Наконец, если на [0, 1] имеет производную, удовлетворяющую условию Липшица с константой , то

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим неравенство

имеющее место в силу соотношения (167) и неотрицательности Если точка непрерывности максимум на [0, 1], то для любого найдется такое , что

Действительно, если то это неравенство следует из непрерывности в точке х, а если то оно тривиально следует из ограниченности Пользуясь этим неравенством, мы из (188) получаем неравенство

откуда в силу (167) и (183) мы будем иметь

при так как стремится к нулю с ростом Это и доказывает первую часть теоремы. Если же имеет на [0, 1] модуль непрерывности , то, построив при произвольном ломаную линию, состоящую из отрезков, соединяющих точки

кривой при уравнение которой будет мы будем иметь благодаря неравенствам (117) и (118), что

Воспользовавшись этим неравенством, мы из неравенства (188) получаем неравенство

Отсюда, беря из интервала мы получаем, что

другими словами, неравенство (186). При из (169) и (166)

непосредственно вычисляется. Действительно,

Поэтому для обыкновенных многочленов С. Н. Бернштейна неравенство (186) имеет вид

Докажем вторую часть теоремы. Если удовлетворяет условию Липшица с константой К, то

и

так как

Из соотношения

так как при

следует последнее утверждение нашей теоремы. Для обыкновенных многочленов С. Н. Бернштейна тогда, так как К — будет иметь место неравенство

Теперь докажем, что Из неравенства (178) следует, что

Прежде всего можно утверждать, что

в силу расходимости ряда

Положим

Но тогда

Поэтому, если максимальное из чисел будет одним из крайних, то действительно

и значит,

в силу условий Допустим, что максимальное число в ряду будет Тогда из тождества

в силу максимальности следует неравенство

или неравенство

Итак, максимальная из величин не превышает макси-, мального из чисел

Одно из двух неравенств при любом

должно быть неверным в силу условий, наложенных на

Поэтому

при . Итак,

Рассмотрим пример. Пусть Тогда и

Далее,

и

Поэтому

где — постоянная.

Из теоремы V следует теорема V.

Теорема V. Система функций

— целые рациональные чист, полна в классе непрерывных функций на отрезке [0, 1], если и

Когда то мы получаем теорему Мюнца. Для полноты этой системы условие В необходимо. (Условие А, вообще говоря, необходимым не является.)

Действительно, пусть Тогда, если только теорема V верна без условия В, то для любого будет существовать квазиполином такой, что

Но тогда

и значит,

где минимум берется по всем квазиполиномам степени не выше . Решим точно эту задачу о минимуме при для функции Выберем числа так, чтобы интеграл

достигал своего минимума. Для этого продифференцируем по и найдем а, удовлетворяющие условиям

Положив

мы будем иметь, что

где С — постоянная, так как степень не выше и выполнены условия (200). Для определения С достаточно умножить обе части тождества (201) на и положить Мы получим тогда, что

Из (199) и (201) находим

другими словами,

откуда

в силу сходимости ряда Это противоречит предельному соотношению (198), что и показывает необходимость условия В.