Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 4. Многочлены С. Н. Бернштейна и их обобщение.Весьма существенный в различных вопросах анализа процесс приближения многочленами произвольной, непрерывной на [0, 1] функции был найден С. Н. Бернштейном. Как показал С. Н, Бернштейн, многочлены
равномерно сходятся к
где Мы рассмотрим обобщенные многочлены Бернштейна, с помощью которых непосредственно устанавливается полнота системы функций
в классе всех непрерывных на отрезке [0, 1] функцийпри условии, что
Пусть построим разделенную разность с узлами
если В силу неравенства (44) настоящей главы, которое остается в силе для нашей последовательности
Многочлен
будет интерполяционным многочленом, удовлетворяющим условиям
где Вводя обозначения
и полагая
Ьткуда следует, так как
Полагая в тождестве
Положим
Тогда
Построим разделенные разности с узлами
где
к
мы из (172) получаем тождество
Рассмотрим функцию
Заметим прежде всего, что Далее, в силу (167), (170) и (174)
Выбирая
и замечая, что
мы из соотношения (176) получаем неравенство
где Рассмотрим теперь сумму
Пользуясь неравенством Буняковского
и полагая
мы непосредственно получаем неравенство
Рассмотрим, наконец, сумму
Дадим две оценки величины этой суммы в зависимости от того, будет ли
Поэтому
Пусть теперь
то при любом
Значит,
Полагая
Считая, что
Определим обобщенный многочлен С. Н. Бернштейна для любой ограниченной на [0. 1] функции
Этот многочлен связан с последовательностью Если положить Теорема V. Если задана последовательность
и
Наконец, если
Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим неравенство
имеющее место в силу соотношения (167) и неотрицательности
Действительно, если
откуда в силу (167) и (183) мы будем иметь
при кривой
Воспользовавшись этим неравенством, мы из неравенства (188) получаем неравенство
Отсюда, беря
другими словами, неравенство (186). При
Поэтому для обыкновенных многочленов С. Н. Бернштейна неравенство (186) имеет вид
Докажем вторую часть теоремы. Если
и
так как Из соотношения
так как при
следует последнее утверждение нашей теоремы. Для обыкновенных многочленов С. Н. Бернштейна тогда, так как К — будет иметь место неравенство
Теперь докажем, что
Прежде всего можно утверждать, что
в силу расходимости ряда Положим
Но тогда
Поэтому, если максимальное из чисел
и значит,
в силу условий
в силу максимальности
или неравенство
Итак, максимальная из величин
Одно из двух неравенств при любом
должно быть неверным в силу условий, наложенных на Поэтому
при
Рассмотрим пример. Пусть
Далее,
и
Поэтому
где Из теоремы V следует теорема V. Теорема V. Система функций
Когда Действительно, пусть
Но тогда
и значит,
где минимум берется по всем квазиполиномам степени не выше
достигал своего минимума. Для этого продифференцируем
Положив
мы будем иметь, что
где С — постоянная, так как степень
Из (199) и (201) находим
другими словами,
откуда
в силу сходимости ряда
|
1 |
Оглавление
|