5. Приближение функций многочленами в комплексной плоскости. Многочлены Фабера.

Мы знаем, что всякую непрерывную на отрезке функцию можно как угодно хорошо приблизить многочленами.

В комплексной плоскости имеет место аналогичное обстоятельство. Всякую регулярную в некоторой конечной односвязной области функцию можно приблизить многочленами во всякой внутренней подобласти этой области. Возможность же равномерного приближения в замкнутой области связана с некоторыми ограничениями, которые нужно накладывать на структуру границы.

Нас в дальнейшем будут интересовать только области с очень правильной границей.

Для приближения в комплексной области наиболее удобны многочлены Фабера.

Пусть будет конечная односвязная область в плоскости ограниченная регулярной аналитической кривой. Из основной теоремы Римана относительно конформных отображений следует, что внешность области содержащую бесконечно удаленную точку, можно конформно отобразить на внутренность круга в плоскости С с помощью функции

Величина определяется областью а бесконечно удаленная точка в плоскости переходит в начало в плоскости С. Так как по предположению имеет аналитическую границу, то — будет функцией, регулярной в круге другими словами, в круге где Рассмотрим функцию

где — некоторая внутренняя точка области Пусть эта точка не выходит за пределы области внутренней по отношению к Так как регулярна на окружности выбрав достаточно малое мы можем утверждать, что контур в который перейдет окружность не будет иметь общих точек с областью так как окружность переходит в контур С, аналитическую границу лежит внутри Отсюда следует, что не будет обращаться в нуль при если не выходит за пределы области Функция есть логарифмическая производная от имеющей в круге только одну особенность — полюс первого порядка в точке и в нуль в этом круге не обращающейся. Поэтому регулярна в круге всюду, за исключением точки где имеет полюс первого порядка с вычетом — 1, откуда следует, что при :

где от не зависит.

Покажем, что есть многочлен степени от Действительно, из соотношения (204) непосредственно следует, что

Так как в первом множителе входит в свободный член, а во втором умножается только на С, то эта формула непосредственно показывает, что есть многочлен относительно со старшим членом

Пусть теперь регулярна в области и непрерывна на ее границе. Относительно области сохраняются прежние предположения. Пусть также есть точка замкнутой области все точки которой будут внутренними точками

Рассмотрим интеграл Коши

где С есть граница Так как замкнутый контур С есть регулярная аналитическая кривая и однозначно отображает этот контур на окружность то можно сделать замену

переменной в интеграле Коши, положив Тогда, принимая во внимание, что положительное направление обхода контура заменится на обратное, мы будем иметь, что

Отсюда, так как ряд (205) равномерно сходится при и возможно почленное интегрирование по контуру мы будем иметь окончательно представление

где

и . Пользуясь неравенством (205), мы получаем, что при

где М — максимум модуля на границе Итак, мы доказали равномерную сходимость к многочленов

во всякой внутренней по отношению к области Многочлены носят название многочленов Фабера и зависят только от заданной области

Рассмотрим частные примеры. Пусть область есть круг Тогда функция переводит внешность этого круга во внутренность круга этом случае а и

Ряд (206) оказывается тогда рядом Тейлора. Функция

конформно отображает круг на внешность эллипса

в плоскости так как при функция однолистна, и если то

Функция в этом случае будет

Так как

то

и значит,

другими словами, в нашем случае отличается от многочлена Чебышева для отрезка только постоянным множителем. Доказанная теорема о разложимости регулярной в эллипсе (210), в ряд по многочленам Фабера приводит нас к уже установленному ранее факту представимости такой функции многочленами Чебышева.

Эллипс, заданный уравнением (210), имеет фокусы в точках малую полуось, равную и большую полуось, равную Фиксируя длину малой полуоси, полагая

и неограниченно увеличивая мы будем получать эллипсы с фиксированной малой полуосью и неограниченно растущей большой полуосью

Какова бы ни была точка принадлежащая полосе плоскости она при достаточно большом должна будет попасть в эллипс (212), так как для внешних точек этого эллипса

другими словами, каково бы ни было при достаточно большом величина для внешних точек будет сколь угодно близка к числу Отсюда следует, что регулярную в полосе функцию можно приблизить как угодно хорошо в любой конечной внутренней подобласти полосы многочленами Чебышева (211).