ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

1. Задача интерполяции.

Для того чтобы нагляднее представить себе одну из основных задач теории конечных разностей, мы рассмотрим следующий пример.

Предположим, что мы, не зная аналитического выражения зависимости имеем возможность определить значения функции при некоторых частных значениях независимого переменного х, находящегося в интервале Пусть — те точки, в которых мы знаем значения функции Говоря геометрическим языком, мы имеем дискретный ряд точек лежащих; на кривой .

Задача состоит в том, чтобы найти аналитическое выражение представляющее функцию точно или приближенно и удовлетворяющее условиям

Однозначного решения такая задача, конечно, не имеет, так как через точек можно провести бесконечное множество кривых, даже если предположить, что эти кривые ведут себя достаточно хорошо в аналитическом смысле.

Но часто бывает необходимо провести через заданные точки какую-нибудь кривую, причем кривую достаточно гладкую, без большого количества максимумов и минимумов. В этом случае большую роль играет также достаточная простота аналитического выражения. Например, бывает желательно получить аналитическое выражение в виде многочлена или комбинации из многочленов и показательных функций.

Задача построения аналитического выражения и есть одна из основных задач теории конечных разностей — задача интерполирования. Ее можно сформулировать так: построить приближенное аналитическое выражение функциональной зависимости, если о ней известно только соотношение между значением независимого переменного и значением функции в дискретном ряде точек.

В некоторых случаях, когда много известно о характере искомой функциональной зависимости, нам удается построить аналитическое выражение для самой

Например, пусть мы знаем, что — многочлен степени не выше т. е.

Тогда если нам известны значения различных точках то всегда и притом единственным образом можно определить его коэффициенты, потому что определителем линейной (относительно коэффициентов ) системы уравнений

является определитель Вандермонда

отличный от нуля при отличных друг от друга Выражения для будут

Построение точного аналитического выражения для оказалось в нашем примере возможным, так как мы потребовали от очень многого, ведь класс многочленов степени не выше — очень узкий класс функций. При решении задачи интерполяции обычно делают предположения более общего характера.

Такими предположениями являются обычно аналитичность или существование производных достаточно высокого порядка.

При таких ограничениях на искомую функцию решением задачи интерполяции обычно является приближенное аналитическое

выражение искомой функции. В этом случае возникает очень важный вопрос о характере приближения и о степени его точности.