4. Приложение интерполяционных процессов к решению некоторых вопросов теории чисел.

Мы дадим два приложения интерполяционных процессов к вопросам теории чисел. Первая из двух теорем, которые мы докажем, относится к тому же кругу вопросов, что и теорема X § 2 настоящей главы.

Рассмотрим функции, принимающие целые значения в точках геометрической прогрессии, знаменатель которой есть целое число, большее единицы, т. е. такие функции что значения при — целые числа, где — целое число, большее единицы.

Функции, целочисленные в этом смысле, не могут обладать ростом меньшим, чем некоторый предельный рост. В противном случае такая функция должна быть многочленом.

Докажем прежде всего, что отношение

есть многочлен относительно с целыми рациональными коэффициентами.

Знаменатель обращается в нуль в точках

Если и взаимно просты, то кратность нуля будет . Нули числителя будут также вида где и находятся в интервалах Легко убедиться, что всякий нуль знаменателя будет нулем и числителя и притом не меньшей кратности, чем Поэтому числитель делится на знаменатель, и есть многочлен. Коэффициенты этого многочлена — целые числа вследствие того, что коэффициент при высшей степени в знаменателе — единица.

Относительно функций, целочисленных в точках геометрической прогрессии, мы можем доказать теперь теорему:

Теорема VIII. Если (Р — целое число, большее единицы) - целые числа, и целая функция удовлетворяет неравенству

то есть многочлен.

Доказательство. Так как удовлетворяет условию (169), то она может быть разложена в ряд, сходящийся для всех

где

Для оценки величины возьмем за контур интеграции окружность и воспользуемся неравенством Коши. Это даст нам оценку

Но, с другой стороны, интеграл для равен сумме вычетов подынтегральной функции:

Умножим на

Это произведение будет опять целой линейной функцией значений но коэффициенты ее будут, как мы сейчас убедимся, целыми числами.

Действительно,

как мы уже знаем, будет целым числом.

Так как целые числа, то и будет также целым рациональным числом.

Пользуясь оценкой мы будем иметь неравенство

Так как правая часть этого неравенства с ростом стремится к нулю, а левая — целое число, то очевидно, что, начиная с некоторого Значит, должна быть многочленом

Нижняя граница роста целой трансцендентной функции, принимающей целые значения в точках не может быть заменена меньшей, так как существуют целочисленные функции, растущие как

Примером такой функции может служить функция

( целое положительное число, большее единицы).

Эта целая функция будет в точках принимать целые значения. Действительно,

есть сумма целых чисел.

Найдем рост функции Положим — целое число. Из этих соотношений найдем

Непосредственно видно, что удовлетворяет неравенству:

Разобьем эту бесконечную сумму на две части; от 1 до где — определенное выше число, и от до

Оценим первую сумму, заменив в ней через Тогда

где

но имеет максимум при равный

Теперь имеем, что

так как

Оценим вторую сумму, заменив в ней через

Мы получим путем нетрудных преобразований неравенство

где

Воспользуемся тождеством

и продолжим наше неравенство. Получим

Соединяя оценки обеих частей первоначальной суммы, мы получим верхнюю границу

Другое числовое приложение интерполяционных процессов, на. котором мы остановимся, относится к области трансцендентных, чисел.

Применение интерполяционных процессов сыграло за последние двадцать лет очень большую роль в развитии теории

трансцендентных чисел. Теорема, которую мы докажем ниже принадлежит как раз к этому кругу идей.

Прежде чем формулировать эту теорему, мы дадим необходимые определения. Алгебраическим числом называется всякий корень алгебраического уравнения с целыми рациональными коэффициентами

Любое число не являющееся корнем какого-либо уравнения с целыми коэффициентами, называется трансцендентным. Если многочлен (170) неприводим, другими словами; не равен произведению двух многочленов ненулевых степеней также с целыми рациональными коэффициентами, то любой корень а уравнения (170) называется алгебраическим числом степени Все остальные корни этого уравнения называются сопряженными с а. Мы можем также предположить, что наибольший общий делитель коэффициентов равен единице, так как в противном случае, разделив все коэффициенты многочлена (170) на этот наибольший общий делитель, мы опять получили бы многочлен с целыми рациональными коэффициентами и не изменили бы величины его корней. этом предположении корень нашего уравнения а будет целым алгебраическим числом, если . Если а — алгебраическое, то — коэффициент при старшей степени к в уравнении для а) при любом целом будет целым алгебраическим числом. Действительно, удовлетворяет уравнению

Приведем некоторые элементарные свойства алгебраических чисел и порождаемых ими алгебраических полей. Если мы расширим поле рациональных чисел путем присоединения к нему алгебраических чисел, другими словами, рассмотрим совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами от чисел то мы получим алгебраическое поле К, которое называется приведенным алгебраическим полем чисел . Это же алгебраическое поле может быть получено путем расширения поля рациональных чисел присоединением к нему некоторого одного числа а степени неоднозначно определяемого числами . Другими словами, совокупность всех многочленов с рациональными коэффициентами от чисел совпадает с совокупностью всех многочленов степени не выше рациональными же коэффициентами от числа а, так как всякая степень а может быть представлена в виде многочлена от

степени не выше . Эта степень не превышает произведения где есть степень числа и называется степенью поля К? Если корни уравнения, которому а удовлетворяет, другими словами, сопряженные с числа, то от присоединения к полю рациональных чисел числа а мы получаем лоле, сопряженное с К, которые мы будем обозначать Каждому числу А поля К, другими словами, многочлену от а с рациональными коэффициентами, будет соответствовать сопряженное число в поле . Это число получается заменой в многочлене от а, которым является число А числа а на Если число А не было равно нулю, то и число также не будет нулем. Это следу из того, что любой многочлен с рациональными коэффициентами, обращающийся в нуль при должен нацело делиться на неприводимый многочлен степени корнем которого является а степень А относительно а не превышает . Если целые алгебраические числа, а многочлен имеет целые рациональные коэффициенты, то А будет целым алгебраическим числом, а произведение будет целым рациональным числом. Так как сами являются числами поля К, другими словами, многочленами от а, то каждому числу соответствует сопряженных чисел Все эти элементарные сведения из теории алгебраических чисел читатель может найти в любом курсе по теории алгебраических чисел, например, в книге Э. Гекке «Лекции по теории алгебраических чисел».

Докажем одно неравенство, необходимое нам в дальнейшем. Пусть будет многочлен с целыми рациональными коэффициентами степеней относительно переменных Пусть максимум модуля коэффициентов этого многочлена, который мы будем называть высотой многочлена, будет Н. Число мы будем называть степенью многочлена. Если — произвольные алгебраические числа, то будут целыми алгебраическими числами, где — коэффициенты при старших степенях х в уравнениях с целыми коэффициентами, корнями которых являются Поэтому число А

будет целым числом поля К степени причем зависит только от чисел

Так как произведение есть целое рациональное число, другими словами, при будет не меньше 1, то

Но мы имеем неравенство

где С не зависит от , так как от и Н не зависят, а число членов многочлена меньше чем . Поэтому имеет место утверждение: если — многочлен с целыми рациональными коэффициентами степени и высоты — произвольные алгебраические числа, то или или

где постоянные и не зависят от и Н, а зависят только от алгебраических чисел

В дальнейшем нам будет нужна оценка величины общего наименьшего кратного всех целых чисел от 2 до Всякое целое число, не превосходящее является произведением степеней простых чисел, не превышающих Если — простое число, то наивысшая степень этого числа на которую может делиться число, не превышающее определяется неравенством или эквивалентным неравенством

Итак, показатель этой степени есть наибольшее целое число, не превышающее Вводя в рассмотрение числовую функцию значение которой для любого действительного х определяется как наибольшее целое число, не превышающее х, мы получаем, что Отсюда следует, что определяется равенством

где произведение в правой части взято по всем простым числам, не превышающим Наибольшее возможное значение будет так как Совершенно очевидно, что из равенства (172) следует также представление

Для того чтобы оценить величину функции нам

нужно установить некоторые свойства и оценки числовых функций и Для функции согласно ее определению справедливо тождество

где функция есть дробная доля числа х. Кроме этого, из определения следует, что Функция носящая название функции Мёбиуса определяется для любого целого положительного числа следующим образом:

где — различные простые числа, целое число. Из этого определения функции Мёбиуса непосредственно следует ее мультипликативность, другими словами, что

если целые числа пит взаимно просты.

Исключительно важным свойством функции определяющим ее значение для теории чисел, является соотношение

где сумма в левой части взята по всем целым делителям числа от 1 до включительно.

Действительно, если где — различные простые числа, входящие в состав — целые числа, не меньшие единицы, то всякий делитель числа имеет вид Тогда в силу определения мультипликативности этой функции будет справедливо соотношение

Это соотношение и показывает, что если другими словами, делится хотя бы на одно простое число, то последнее произведение в правой части (177) равно нулю, так как

Другое свойство функций а заключается в том, что

Действительно, если определить функцию равенствами

то совершенно очевидно, что для любого неотрицательного х будет справедливо тождество

Заменяя в этом тождестве х на у, умножая обе его части на и суммируя затем по всем целым значениям от 1 до мы получим, что

Располагая суммирование в правой части этого равенства по функциям мы получаем, наконец, что благодаря свойству

другими словами, тождество (178).

Из тождества (178) при следует тождество

которое позволяет установить неравенство

так как

Далее, докажем соотношение

где простые, целое число, и сумма взята по всем делителям числа Действительно, если простое, то так как Если же где различные простые и все отличны от нуля, то, продифференцировав по очевидное тождество

где сумма в правой части взята по делителям мы получим тождество

Положив в этом тождестве мы приходим к соотношению (180).

Непосредственным следствием формул (176) и (180) является важное представление функции именно:

Член в нашей двойной сумме встречается столько раз, сколько чисел, не превышающих делится на Но все эти числа имеют вид где есть максимальное целое число, не превышающее т. е. Это позволяет дать другое выражение для двойной суммы в представлении (181). Меняя порядок суммирования, мы получаем, что

Прямым следствием того, что и монотонного

убывания функции на интервале является неравенство

Воспользовавшись формулой (3) § 1 настоящей главы, мы придем к неравенству

где С — константа Эйлера, . Но меняя порядок суммирования, мы будем иметь соотношение

Далее мы непосредственно получаем из неравенства для что

Из (182), пользуясь неравенствами (183), (184), (185) и (186), мы получаем окончательно неравенство для

Так как [см. (173)]

то вследствие неравенства (187)

Неравенства типа (187) для сверху и снизу значительно более точные были впервые найдены гениальным русским математиком П. Л. Чебышевым. Нам для дальнейших рассмотрений вполне достаточно неравенства (189).

Опираясь на неравенства (181) и (189), мы докажем теорему, являющуюся частным случаем классической теоремы Линдемана. Из приводимой нами теоремы следует трансцендентность классических констант

Теорема IX. Числа — основание натуральных логарифмов) одновременно не могут быть алгебраическими числами, исключая случай

Доказательство. Предположим этивное, т. е. что — алгебраические числа. Пусть — произвольное целое положительное число, которое мы будем считать большим некоторых постоянных, зависящих только от алгебраических чисел Разложим функцию в интерполяционный ряд Ньютона с узлами интерполяции где

Тогда, как мы уже знаем, имеет место представление

причем ряд будет равномерно сходиться к в любом конечном круге, если выполнено условие (158) теоремы VII. В нашем случае , поэтому условие (158) дает для неравенство

Мы предположим, что это неравенство будет выполнено, для чего достаточно только выбрать достаточно большим. Отсюда будет уже следовать равномерная сходимость ряда (191) к Воспользовавшись интегральным представлением конечной разности (см. § 4 главы I), мы будем иметь, что

где откуда следует неравенство

Полагая мы получаем, воспользовавшись формулой

Стирлинга [см. (6), § 1], неравенство, справедливое при

так как Воспользовавшись опять формулой Стирлинга и неравенством (189), получим

откуда следует окончательно, что

Воспользовавшись другим представлением конечной разности [см. (57) § 4 главы I], мы будем иметь в нашем случае представление

Оценим прежде всего величину . Воспользовавшись интегралом Коши, мы получим для выражение

Оценивая модуль этого интеграла на окружности

получим неравенство

Далее, полагая

мы для от получаем неравенство

которое является прямым следствием неравенств (189) и (198).

Нетрудно убедиться, что числа будут целыми рациональными числами. Действительно, воспользовавшись формулой производной от произведения, мы будем иметь, что

где сумма взята по всем неотрицательным значениям целых чисел таким, что Так как в знаменатели членов суммы целые числа от 1 до входят в степенях, сумма которых не превышает а числа

все целые, то действительно число будет целым числом. Итак, величина

будет многочленом относительно высота которого вследствие (199) не превышает при величины а степень не

больше т. e. при не больше Если то в силу алгебраичности должно быть выполнено неравенство (171), другими словами, неравенство

где числа и не зависят от и

До сих пор мы предполагали, что — произвольное число, удовлетворяющее только неравенству (192). Если мы предположим, что кроме этих условий целое число удовлетворяет и неравенству

а такое всегда можно выбрать благодаря тому, что и зависят только от то при неравенства (196) и (201) будут противоречивы. Из этого следует, что при Значит,

другими словами, из предположения, что — алгебраические числа, мы вывели в качестве следствия, что трансцендентная функция есть многочлен. Но при — не многочлен, в чем весьма легко убедиться дифференцированием Значит, наше предположение неверно, и теорема доказана. Положив мы получаем, что трансцендентно, а положив мы получаем, что значит, не может быть алгебраическим числом, что эквивалентно трансцендентности числа . Прямым следствием доказанной теоремы является трансцендентность чисел при алгебраическом а.

Из трансцендентности числа к следует, что задача о квадратуре круга, другими словами, о построении с помощью циркуля и линейки квадрата с площадью, равной площади данного круга, неразрешима. С помощью циркуля и линейки можно строить только корни некоторых типов алгебраических уравнений, коэффициенты которых будут целыми числами, если мы примем радиус круга за единицу.