Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5. Теорема Пуанкаре1. Постановка вопроса.Рассмотрим линейное уравнение порядка
Пусть корни
характеристического уравнения
различны между собой по модулю. Обозначив модуль корня
Так как корни характеристического уравнения (34) различны, то общее решение
Фиксируем определенное решение уравнения (32), иначе — дадим в соотношении (45) постоянным
где
Если теперь перейти к пределу, предполагая, что
будут равны нулю, и мы получим
иначе говоря, имеем теорему: если 2. Теорема Пуанкаре.Если для линейного однородного разностного уравнения
существуют конечные пределы для переменных коэффициентов
когда х неограниченно возрастает,
и если корни уравнения
все различны по модулю, то, каково бы ни было частное решение
уравнения (47), т. е.
Доказательство. Итак, пусть
уравнениями:
Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, он в данном случае отличен от нуля, потому что мы предположили, что все корни уравнения (47) — простые. Значит, системой (48) единственным образом определяются все функции
а значит, и
для любого целого х. Поэтому, если
Букве
получим следующий ряд рекуррентных соотношений, определяющих числа
или
если считать С помощью чисел
Каждое из выражений, стоящее в скобках, на которое умножаются
кроме
может быть представлена на основании соотношения (49) в виде
Это отношение обращается в нуль, потому что
При
и она равна
что, очевидно, вытекает из равенства (49), если, полагая Итак, от соотношения (51) остается
и система (48) относительно функций
Постараемся исключить функцию
тогда данное нам уравнение (46) запишем в виде
где
Суммирование в средней сумме можно начать с
Из соотношения (50) имеем
поэтому
Если в левой части соотношения (52) мы заменим х на
поэтому последнее полученное нами соотношение принимает вид
Остается исключить
Разделив еще на
получим
где Рассмотрим теперь введенные нами функции
Положим
вследствие того, что ни для какого
Покажем, что существует такое число
Отсюда сразу получится, что найдется такой номер Итак, чтобы утверждать, что среди функций (55) имеется функция наибольшего роста, достаточно доказать неравенство (56). Для этой цели заметим, что для
Выберем такое малое число
выполнялось для любых
Возьмем число
Положим в соотношении
и так как
то
или окончательно
Из соотношения (54) при
Разделив неравенство (58) и (57) почленно, получим для
Покажем теперь, что для
Предположим противное, т. e.
а во-вторых, так как мы предположили
Это показывает, что
или
что находится в противоречии с определением индекса
Итак, мы выделили из функций (55) функцию
Соотношение (61) будем доказывать по-разному для случаев
Предположим, что
т. е. можно выбрать такую подпоследовательность чисел натурального ряда
что существует предел
Возвращаясь к соотношению (54), оценим по модулю обе части этого равенства, предполагая при этом, что, во-первых,
где
откуда
Предположим, что в неравенстве (63) х последовательно принимает те значения
для которых отношение
стремится к своему верхнему пределу а при
Но нижний предел по подпоследовательности не может превзойти верхнего предела по всей последовательности. Поэтому имеем
С другой стороны, неравенство (64) верно для любого сколь угодно малого
Но так как
Тогда последнее неравенство дает
что находится в противоречии с неравенством
следовательно, если мы рассматриваем случай
Рассмотрим случай
откуда
или
Дальнейшие рассуждения по отношению к рассмотренному выше случаю Предполагая по-прежнему, что
мы здесь выберем последовательность
Обозначим
и подставим в неравенство (65) х вместо х. Переходя к пределу при
Отсюда, так как
Вспоминая, что при
получим
Но этого не может быть, так как
Источником полученных нами противоречий послужило то, что число а мы считали существенно положительным. Если же положить
останутся неиспользованными. Следовательно, и при Возвращаясь к выражениям
т. е. к соотношениям
из первого находим
а из второго
поэтому
и теорема Пуанкаре доказана.
|
1 |
Оглавление
|