§ 5. Теорема Пуанкаре

1. Постановка вопроса.

Рассмотрим линейное уравнение порядка с постоянными коэффициентами и без правой части

Пусть корни

характеристического уравнения

различны между собой по модулю.

Обозначив модуль корня через можем положить, что корни расположены в последовательности убывающих модулей

Так как корни характеристического уравнения (34) различны, то общее решение уравнения (32) изобразится в виде

Фиксируем определенное решение уравнения (32), иначе — дадим в соотношении (45) постоянным некоторые определенные фиксированные значения. Пусть первое не обращающееся в нуль из чисел будет но тогда можно показать, что

где есть рассматриваемое решение уравнения (32). В самом

Если теперь перейти к пределу, предполагая, что то в силу уравнения (44) пределы отношений

будут равны нулю, и мы получим

иначе говоря, имеем теорему: если есть какое угодно (нетривиальное) решение уравнения (32), то предел отношения при х неограниченно возрастающем равен одному из корней характеристического уравнения, если только все эти корни различны по модулю (какому именно, мы сказать определенно, не зная решения, не можем, можно только сказать, что этот корень соответствует тому номеру который первый слева не обращает в нуль число рассматриваемого решения). Обобщение рассмотренной теоремы и составляет теорему Пуанкаре.

2. Теорема Пуанкаре.

Если для линейного однородного разностного уравнения

существуют конечные пределы для переменных коэффициентов

когда х неограниченно возрастает,

и если корни уравнения

все различны по модулю, то, каково бы ни было частное решение уравнения (46), предел отношения когда х неограниченно возрастает, равен одному из корней

уравнения (47), т. е.

Доказательство. Итак, пусть есть какое-нибудь решение уравнения (46). Определим систему функций

уравнениями:

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, он в данном случае отличен от нуля, потому что мы предположили, что все корни уравнения (47) — простые. Значит, системой (48) единственным образом определяются все функции Первое свойство функций заключается в том, что ни для какого целого х эти функции одновременно в нуль не обращаются, так как если бы для некоторого (целое число) все функции обращались в нуль, то было бы

а значит, и

для любого целого х. Поэтому, если — не тривиальное решение, функции ни для какого целого в нуль одновременно не обращаются. Перейдем теперь к решению системы (48) относительно функций Обозначим левую часть уравнения через , тогда, очевидно, можно положить

Букве приписано два индекса потому, что, во-первых, соответствующий коэффициент зависит от выделенного линейного множителя, (т. е. от ) и, во-вторых, от того, при какой степени X он находится. Раскрывая в правой части соотношения (49) скобки и сравнивая результат с выражением для в виде

получим следующий ряд рекуррентных соотношений, определяющих числа

или

если считать

С помощью чисел система (48) может быть разрешена следующим образом: умножим первое из равенств на второе на третье на предпоследнее на последнее на и сложим затем почленно написанные равенства, заменив одновременно х на тогда получим

Каждое из выражений, стоящее в скобках, на которое умножаются

кроме равно нулю, потому что каждая из таких скобок

может быть представлена на основании соотношения (49) в виде

Это отношение обращается в нуль, потому что

При соответствующая скобка есть

и она равна

что, очевидно, вытекает из равенства (49), если, полагая разделить на затем считать, что

Итак, от соотношения (51) остается

и система (48) относительно функций решена Это решение короче запишем так:

Постараемся исключить функцию из соотношений (52) и получить систему разностных уравнений, которым удовлетворяют функции положим

тогда данное нам уравнение (46) запишем в виде

где когда Из соотношений (52) и (53) пэлучаем

Суммирование в средней сумме можно начать с если считать, как и выше, Объединяя при этом первую и вторую суммы в одну, найдем

Из соотношения (50) имеем

поэтому

Если в левой части соотношения (52) мы заменим х на и будем считать то получим

поэтому последнее полученное нами соотношение принимает вид

Остается исключить из имеющейся суммы. Это можно сделать, воспользовавшись соотношениями (48). Подставляя в означенную сумму вместо соответствующие линейные выражения через функции мы в результате получим некоторую сумму из умноженных каждая на линейную комбинацию с постоянными коэффициентами из Раз при стремятся к нулю, то также будут стремиться к нулю и упомянутые линейные комбинации из них; обозначая последние через будем иметь

Разделив еще на и положив

получим

где

Рассмотрим теперь введенные нами функции

Положим Ясно, что для каждого среди чисел ряда (55) найдется наибольшее по модулю, причем, вообще говоря, таких наибольших по модулю чисел может оказаться несколько. Обозначим через наименьший из индексов для которого имеет в ряде (55) максимальное значение. В зависимости от индекс будет, вообще говоря, меняться. Индекс обладает следующими свойствами:

вследствие того, что ни для какого все функции одновременно в нуль обратиться не могут и, кроме того,

Покажем, что существует такое число что при всех

Отсюда сразу получится, что найдется такой номер что для всех . В самом деле, из (56) следует, что наступит момент, когда перестанет меняться, ибо этот индекс не возрастает, а принимать он может только значения

Итак, чтобы утверждать, что среди функций (55) имеется функция наибольшего роста, достаточно доказать неравенство (56).

Для этой цели заметим, что для

Выберем такое малое число , чтобы неравенство

выполнялось для любых Это, очевидно, всегда возможно, потому что

Возьмем число столь большим, чтобы для всех было

Положим в соотношении тогда (так как модуль разности больше или равен разности модулей)

и так как

то

или окончательно

Из соотношения (54) при полагая аналогично получим

Разделив неравенство (58) и (57) почленно, получим для

Покажем теперь, что для

Предположим противное, т. e. , тогда, во-первых, в силу определения индекса

а во-вторых, так как мы предположили

Это показывает, что

или

что находится в противоречии с определением индекса Соединяя доказанное с тем замечанием выше, в котором указывалось на то, что, начиная с указанного номера, станет постоянной величиной, независимой от мы можем утверждать, что найдется такое число (оно может быть больше N), что для любого существует индекс (из ряда что

Итак, мы выделили из функций (55) функцию наибольшего роста; покажем, что ее рост настолько превосходит рост остальных функций, что предел отношения каждой из остальных функций к найденной функции имеет пределом нуль, когда

Соотношение (61) будем доказывать по-разному для случаев

Предположим, что Допустим, что существует верхний предел отношения

т. е. можно выбрать такую подпоследовательность чисел натурального ряда

что существует предел

Возвращаясь к соотношению (54), оценим по модулю обе части этого равенства, предполагая при этом, что, во-первых,

и поэтому

где сколь угодно малое положительное число, и, во-вторых, выполнены условия (60) (такое как мы показали выше, существует). Получим

откуда

Предположим, что в неравенстве (63) х последовательно принимает те значения

для которых отношение

стремится к своему верхнему пределу а при Подставляя в неравенство (63) х вместо х и переходя к пределу при цайдем

Но нижний предел по подпоследовательности не может превзойти верхнего предела по всей последовательности. Поэтому имеем

С другой стороны, неравенство (64) верно для любого сколь угодно малого , не зависящего от последовательности поэтому

Но так как

Тогда последнее неравенство дает

что находится в противоречии с неравенством

следовательно, если мы рассматриваем случай то

Рассмотрим случай Тогда из равенства (54) получим

откуда

или

Дальнейшие рассуждения по отношению к рассмотренному выше случаю несколько изменятся.

Предполагая по-прежнему, что

мы здесь выберем последовательность так, чтобы

Обозначим

и подставим в неравенство (65) х вместо х. Переходя к пределу при найдем

Отсюда, так как сколь угодно мало,

Вспоминая, что при

получим

Но этого не может быть, так как

Источником полученных нами противоречий послужило то, что число а мы считали существенно положительным. Если же положить (следовательно, и ), то противоречия построить, конечно, не удастся, ибо при этом условия

останутся неиспользованными. Следовательно, и при и мы получаем то, что требовалось, т. е. что предел отношения при равен нулю.

Возвращаясь к выражениям через

т. е. к соотношениям

из первого находим

а из второго

поэтому

и теорема Пуанкаре доказана.