4. Пример к теореме Пуанкаре.

Здесь мы построим пример, показывающий, что требование различия по модулю корней предельного характеристического уравнения было существенным (а не только соответствовало избранной форме доказательства).

Рассмотрим линейное уравнение

Здесь

и, следовательно,

Предельное характеристическое уравнение будет

а его корни

равны по модулю. Покажем, что теорема Пуанкаре места не имеет. Для этого, задавшись начальными условиями, например

построим непосредственно решения заданного уравнения, разбирая отдельно случаи — число целое положительное). При имеем , и заданное уравнение можно записать в виде

Давая здесь значения

получим ряд равенств

откуда в силу условия найдем

Что касается случая то нетрудно видеть, что в силу условия

будем иметь

Таким образом, частное решение нашего уравнения при начальных условиях

будет дано следующими двумя формулами:

Ясно, что говорить о пределе

в данном случае не имеет даже смысла, так как для четных знаменатель каждый раз обращается в нуль (числитель при этом нулю не равен). Верхний и нижний пределы отношения при также с корнями совершенно не связаны (верхний предел, если не делать различия между и будет равен бесконечности, а нижний нулю). Этот пример показывает, что условие различия по модулю корней предельного характеристического уравнения в теореме Пуанкаре является условием существенным.