5. Примеры.

1. Пусть требуется решить уравнение

при начальных условиях

а также пусть требуется найти в полученном решении. Решение. Составляем характеристическое уравнение

или

или

его корни:

поэтому общее решение изобразится в виде

где — новые произвольные постоянные.

Воспользовавшись начальными условиями, составляем уравнения для определения этих постоянных:

откуда

Итак,

В частности,

Решение может быть записано и следующими тремя простыми формулами: при

очевидно,

при

будет

и, наконец, при

Положим для поверки тогда, так как мы должны воспользоваться формулой которая сразу дает

что мы уже ранее и имели.

2. Рассмотрим последовательность чисел, начинающихся с нуля и единицы, в которой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... (числа Фибоначчи). Найти выражение общего члена последовательности.

Решение. Согласно условию задача сводится к решению конечно-разностного линейного уравнения

с постоянными коэффициентами при начальных условиях обозначает число Фибоначчи номера х.

Составляя характеристическое уравнение

находим его корни

так что

Постоянные определятся из начальных условий, т. е. из уравнений

решая которые найдем

и следовательно,

Так как предел второго члена при равен нулю, то отсюда, между прочим, следует, что числа Фибоначчи растут, как члены геометрическом прогрессии (со знаменателем ).

3. Дано чисел:

Составляем бесконечную последовательность:

Найти

Решение. Напишем соотношение, которому по условию должна удовлетворять

Написанное соотношение есть линейное уравнение. Если мы его решим, т. е. найдем выражение для то совершить предельный переход будет несложно. Разумеется, мы из решений уравнения должны выбрать удовлетворяющее начальным условиям. Итак, составляем характеристическое уравнение

Нетрудно видеть, что

есть один из корней этого уравнения. Все остальные корни

как можно показать, будут различны и по модулю меньшими единицы:

Поэтому общее решение уравнения будет

Постоянные определяются из уравнений, которые получатся, если мы запишем, что найденное решение удовлетворяет начальным условиям:

Эта система совместна, ибо все корни характеристического уравнения простые. Предполагая, что в найденном решении имеют значения, найденные из написанной системы, и принимая во внимание условие получим

Итак, нужно найти Если мы будем непосредственно решать систему то выражение для получится через корни характеристического уравнения и будет несколько сложным. Проще поступить так: ясно, что из системы через начальные значения выражается линейно, т. е. в

где выражаются только через корни характеристического уравнения и, следовательно, от

не зависят. Постоянные а, можно определить следующим искусственным приемом. Начальными значениями у нас были произвольные числа Этими начальными значе

ниями функция вполне определялась [равенство ]. Если мы теперь возьмем начальные значения

то мы получим опять решение нашего уравнения

Так как то легко можно получить, что

значит, Но в формуле (8) не зависели от начальных значений значит, мы имеем равенства

и

с одними и теми же

Таким образом, получаемравенство

Отсюда, так как не зависит от начальных значений получим

и следовательно,

Остается определить Для этого положим

Тогда по смыслу образования нашей последовательности , и следовательно,

поэтому

и окончательно

Для большей конкретности возьмем числовой пример

тогда последовательность будет

а ее предел будет равен двум:

4. Даны два целых числа из которых Последовательным делением на на первый остаток и т. д. находится общий наибольший делитель.

Требуется указать число, которое не превзойдет число операций последовательных делений, а при некоторых будет ему равно.

Решение. Обозначая частное от деления на через а остаток через частное от деления на через а остаток через получим систему равенств:

Совершенно очевидно, что наибольшее число операций будет в том случае, когда все частные будут

единицами. Введем поэтому числа при условиях

Совершенно очевидно, что при этом должны выполняться неравенства

Последнее из этих неравенств может служить для определения числа если только будет известно выражение как функция т. Поэтому нам надо найти .

Решим для этого уравнение

при начальных условиях Характеристическое уравнение для него будет

с корнями

Общее решение нашего уравнения будет поэтому

Константы мы найдем из условий Действительно», мы будем иметь

или

откуда

Теперь мы можем написать окончательное выражение для

Так как

таким образом,

Логарифмируя это выражение, получаем

Обозначив через число цифр и приняв во внимание, что , получим неравенство

Это неравенство носит название теоремы Ламе (Lame).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)