Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5. Примеры.1. Пусть требуется решить уравнение
при начальных условиях
а также пусть требуется найти
или
или
его корни:
поэтому общее решение
где Воспользовавшись начальными условиями, составляем уравнения для определения этих постоянных:
откуда
Итак,
В частности,
Решение
очевидно,
при
будет
и, наконец, при
Положим для поверки
что мы уже ранее и имели. 2. Рассмотрим последовательность чисел, начинающихся с нуля и единицы, в которой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... (числа Фибоначчи). Найти выражение общего члена последовательности. Решение. Согласно условию задача сводится к решению конечно-разностного линейного уравнения
с постоянными коэффициентами при начальных условиях Составляя характеристическое уравнение
находим его корни
так что
Постоянные
решая которые найдем
и следовательно,
Так как предел второго члена при 3. Дано
Составляем бесконечную последовательность:
Найти
Решение. Напишем соотношение, которому по условию должна удовлетворять
Написанное соотношение есть линейное уравнение. Если мы его решим, т. е. найдем выражение для
Нетрудно видеть, что
есть один из корней этого уравнения. Все остальные корни
как можно показать, будут различны и по модулю меньшими единицы:
Поэтому общее решение
Постоянные
Эта система совместна, ибо все корни характеристического уравнения простые. Предполагая, что в найденном решении
Итак, нужно найти
где
не зависят. Постоянные а, можно определить следующим искусственным приемом. Начальными значениями у нас были произвольные числа ниями функция
то мы получим опять решение нашего уравнения
Так как
значит,
и
с одними и теми же Таким образом, получаемравенство
Отсюда, так как
и следовательно,
Остается определить
Тогда по смыслу образования нашей последовательности
поэтому
и окончательно
Для большей конкретности возьмем числовой пример
тогда последовательность
а ее предел будет равен двум:
4. Даны два целых числа Требуется указать число, которое не превзойдет число операций последовательных делений, а при некоторых Решение. Обозначая частное от деления
Совершенно очевидно, что наибольшее число операций единицами. Введем поэтому числа
Совершенно очевидно, что при этом должны выполняться неравенства
Последнее из этих неравенств может служить для определения числа Решим для этого уравнение
при начальных условиях
с корнями
Общее решение нашего уравнения будет поэтому
Константы мы найдем из условий
или
откуда
Теперь мы можем написать окончательное выражение для
Так как
таким образом,
Логарифмируя это выражение, получаем
Обозначив через
Это неравенство носит название теоремы Ламе (Lame). Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|