3. Асимптотическое представление Г(z).

Для нахождения приближенного выражения при больших значениях в области с границей рассмотрим вспомогательную функцию

Отсюда следует при что

Рассмотрим теперь сумму

Мы будем иметь неравенство

так как при

Теперь, осуществляя суммирование, мы получаем соотношение

откуда следует, что

Но, воспользовавшись формулой Стирлинга, мы получим отсюда, что

Переходя к пределу при на основании предельного соотношения (15), мы получаем искомое асимптотическое представление

при Для того чтобы показать справедливость этого асимптотического представления, правда, с другим остаточным членом, в области с границей достаточно воспользоваться формулой (13) и функциональным уравнением (12). Пусть Когда мы рассматривали точки правой полуплоскости мы считали, что Это предположение существенно, так как оно определяет значение Если мы будем предполагать любым числом, то условимся заранее по той же причине, что Поэтому если то если и к если По формулам (13) и (12) мы будем иметь при что

Применяя формулу (17) к что возможно, так как мы получаем при что

Если же то и мы получаем, что

Взяв сопряженные величины от обеих частей равенства, получим

так как Итак, для имеет место

асимптотическая формула

где при

если если и при

Поэтому в области

а в секториальной области с границей