5. Теорема Штаудта.

Соотношение (40), определяющее число через разности и послужит нам для доказательства так называемой теоремы Штаудта. Эта теорема выясняет арифметические свойства знаменателей чисел Бернулли. Идея исследования, которое мы сейчас будем проводить, будет основана на исследовании частных от деления на при различных Малая теорема Ферма (см. выше) легко позволяет обнаружить, в каких случаях это деление совершается без остатка, а в каком случае с остатком, причем, как мы увидим, эта теорема укажет на все те значения для которых это деление нацело невозможно, и определит в каждом случае величину остатка такого деления.

Займемся этим исследованием.

Сумма (40), изображающая число состоит из слагаемых вида

причем число меняется от 0 до Рассмотрим те значения для которых число не есть число простое, а разбивается, следовательно, на произведение двух множителей, отличных от единицы:

Нетрудно показать, что в этом случае

причем знак равенства имеет место только тогда, когда

во всех остальных случаях имеет место строгое неравенство.

В самом деле, неравенство эквивалентно следующему:

которое будет иметь место, если целые числа превосходят единицу и одно из них строго больше двух.

Будем считать, что исключается), тогда можно положить

где — некоторое целое число, большее нуля. Таким образом,

откуда

где — число, большее или равное нулю. Общий член номера суммы (40) можно, таким образом, записать так:

или

Покажем теперь, что

делится нацело на а для любого

[По смыслу постановки вопроса ибо при , следовательно, на а делится.]

В самом деле, на основании формулы (35) главы I имеем

Для того чтобы показать, что сравнимо с нулем по модулю а, достаточно, очевидно, показать, что каждый член написанной суммы сравним с нулем по модулю Для этого заметим, что число сочетаний из а элементов по всегда есть целое число, т. е.

есть число целое.

Нетрудно теперь видеть, что общий член суммы (42) сравним с нулем по модулю а. Действительно,

на основании (43) есть целое число. Заметив это, преобразуем формулу (35) главы I] следующим образом:

или так как

то

но

поэтому

Так как делится на а при любом то Даху есть многочлен относительно х, обладающий тем свойством, что каждый его коэффициент делится нацело на а.

Итак, если от степени взять разность порядка а, то получится некоторый многочлен степени все коэффициенты которого будут делиться на а.

Если теперь брать разность от каждой степени этого многочлена, то эта операция породит на основании доказанного совершенно независимо от множителей, кратных а, множители, кратные Взятие разности для нас далее неинтересно (существенно лишь то, что во всяком случае понятно, что взятие разности от преобразует х в многочлен, каждый коэффициент которого, следовательно, и свободный член, равный будут делиться на произведение Но

поэтому

в рассматриваемом случае будет число целое.

Нетрудно показать, что если то число

есть целое для любого (четного). В самом деле,

Для нас интересны, конечно, только четные значения (так как все нечетные бернуллиевы числа равны нулю). Если — четное, то можно положить (причем считать при ), тогда

Среднее слагаемое на 4 делится. Остается показать, что делится на 4 сумма или, что то же, разность это же непосредственно следует по теореме Безу

Рассмотрим теперь тот случай, когда число -простое. Обратимся опять к выражению (41). Будем считать для простоты рассуждений (т. е. исключим из рассмотрения число тогда можно записать в виде суммы от единицы до следующим образом:

В написанной сумме индекс не принимает значения 0 и поэтому сравнение

будет выполнено при всех значениях, которые принимает в сумме (47), и тех для которых число - простое. Так как [см. формулу (40)], то в каждом члене суммы (47) v можно поделить на представив его в виде

где — частное, остаток, меньший . В частности, остаток может оказаться равным нулю, т. е. деление совершится нацело. Не исключен также случай

Этот случай войдет в наше рассмотрение, если номер рассматриваемого бернуллиева числа таков, что — число простое.

Так как по теореме Ферма

то, возводя обе части сравнения в степень получим

откуда, умножая обе части сравнения на и заметив, что

найдем

Из соотношения (47) и только что полученного сравнения заключаем, что будет сравнимо (по модулю ) с суммой, которой эта разность изображается, если в ней заменить через т. е.

Если , то

потому что

Если же есть делитель что

Эта последняя сумма есть сумма знакопеременных коэффициентов бинома, исключая одного, соответствующего значению Полагая выясняем вид недостающего члена; именно это будет

Итак, рассматриваемая сумма обращается в

следовательно,

Умножая обе части полученного сравнения на находим

или

Написанное сравнение означает, что число

т. е. общий член суммы (40), имеет дробную часть в силу

получаемого сравнения, равную если простое число, есть делитель Итак, мы пришли к теореме Штаудта: всякое бернуллиево число может быть представлено в форме

где есть целое число, а сумма распространена на все такие, что — простое число, есть делитель

Пример. Рассмотрим число Здесь Делителями будут 1, 2, 3, 6. Прибавляя к каждому из них по единице, получим четыре числа:

Из этих чисел простыми будут

следовательно, Вв будет равно