2. Оценки остаточного члена в общей интерполяционной формуле и основные теоремы о представлении функций интерполяционным рядом.

В этом пункте мы дадим две оценки величины остаточного члена общей интерполяционной формулы.

Первая оценка будет получена нами в предположении, что все точки не выходят за пределы круга радиуса с центром в начале координат, другими словами, что

Оценим при этих предположениях интеграл

При наших предположениях относительно мы получаем непосредственно, что так как не выходит за пределы наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего точки Последовательно интегрируя, мы получаем, что

Отсюда, полагая пользуясь неравенствами и беря справа и слева модули, мы получаем неравенства

для любого Заметим также, что Эти рекуррентные неравенства позволяют дать оценку для Действительно, определим величины из рекуррентных соотношений

Для нахождения величин возьмем функцию

и рассмотрим выражение Разлагая в ряды Тейлора, мы получаем тогда, что

Отсюда следует, что

причем ближайшими к началу полюсами как нетрудно видеть, будут точки Так как то

Значит, разлагая опять в ряд Тейлора, мы получим, что

Но в силу того что удовлетворяют неравенствам (72), определяются равенствами (73), мы получаем, очевидно, неравенства для

Из этих неравенств можно получить теорему.

Теорема. Если — целая функция, удовлетворяющая условию, наложенному на ее рост,

где С — постоянная, сколь угодно мало, но фиксировано, а точки не превосходят по модулю числа полностью определяется бесконечной последовательностью разделенных разностей разлагается в интерполяционный ряд

[ определяется формулами (65)], который равномерно сходится во всякой конечной части плоскссти.

Следствие. Если при условиях нашей теоремы

Доказательство. Рассмотрим функцию

Оценивая по модулю правую часть и обозначая максимум модуля при через мы будем иметь неравенство

Из формулы (69), интегрируя по частям, мы будем иметь, что

Воспользовавшись неравенством (76), мы будем иметь неравенство

откуда уже следует, если воспользоваться неравенством (80), неравенство

где — постоянная и стремится к нулю не медленнее, чем так как — первого порядка и конечного типа. Оценим теперь при условиях нашей теоремы.

Из интегрального представления

где — та точка, в которой достигается максимум модуля на круге следует при что

где — постоянная.

Сопоставляя это неравенство с неравенством (82), мы получаем, что

где постоянная. Это неравенство и доказывает нашу теорему, другими словами, равномерную сходимость ряда (78) в любом круге конечного радиуса. Дальнейшие уточнения и обобщения см. § 7 главы I.

Другую оценку остаточного члена более удобную при иных расположениях точек на комплексной плоскости, можно получить, оценивая другим способом интеграл

Здесь мы будем предполагать, что могут иметь любые комплексные значения, а — функция, регулярная в определенной выше области Сделаем замену переменных, положив Тогда мы получим, что

Так как то, как мы уже отмечали, С не выходит за пределы наименьшего многоугольника, содержащего точки обозначим его . В частном случае может быть отрезком. Пусть будет диаметр наименьшей окружности, содержащей многоугольники и Пусть также если также изменяется в какой-либо

ограниченной области. Через обозначим наименьшую замкнутую область, содержащую все области область изменения и точку Нетрудно заметить, что диаметр области другими словами, диаметр наименьшего круга, в который может быть помещена область не превзойдет величины

Положим также

где — некоторая область изменения

Введем обозначения:

Считая, что интегрирование идет по прямолинейным отрезкам и пользуясь тем, что модуль интеграла не превосходит максимума модуля подынтегральной функции, умноженного на длину пути интегрирования, мы получим ряд неравенств

Из этих неравенств непосредственно следует, что

Далее, так как при ,

то наше неравенство для может быть переписано в более

простой форме:

где имеет ранее определенное значение.

Воспользовавшись этим последним неравенством, мы уже можем дать оценку для

Совершенно так же мы можем получить оценку и для Действительно, мы будем иметь

Но в этом случае областью изменения будет наименьшая область, содержащая область изменения . Эту область будем обозначать Тогда получим неравенство для аналогичное неравенству (87):

где имеет прежнее значение, любое число. Из этого неравенства следует неравенство для так как

Сравнивая выражения (65) и (69), мы видим, что, положив в выражении (69) для и умножив его правую часть на мы получаем . Это позволяет сразу дать оценку Действительно, мы будем иметь неравенства

которые будут непосредственным следствием неравенств (91). Неравенства (87), (91) и (92) позволят нам доказать теоремы о представимости аналитических функций с помощью общих интерполяционных рядов. Отметим, что неравенства (87) — (92) для частного случая впервые были доказаны В. Л. Гончаровым.